Răspuns:
Te gandesti asa. Daca sirul [tex]x_n[/tex] ar fi convergent si [tex]\ell=\lim_n x_n[/tex],
atunci trecand la limita in relatia de recurenta rezulta [tex]\ell=\sqrt{\ell+6}[/tex], deci [tex]\ell^2-\ell-6=0[/tex]. Ecuatia are solutiile [tex]\ell_1=-2,\ell_2=3[/tex].
Dar [tex]x_n>0[/tex] pentru orice n, deci nu limita sirului, daca exista, ar trebui sa fie [tex]\ell=3[/tex].
Trebuie folosita teorema lui Weiestrass: adica aratat ca x_n este marginit si monoton. (atunci rezulta ca x_n e convergent)
Marginirea: Aratam ca [tex]x_n\in [1,3][/tex] (1) pentru orice n>=1, prin inductie.
Pentru n=1, [tex]x_1=1\in [1,3][/tex] este o afirmatie adevarata.
Presupunem ca [tex]x_n\in [1,3][/tex]. Atunci, din ipoteza de inductie, [tex]x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}\leq \sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3[/tex]. Pe de alta parte, [tex]\sqrt{6+x_n}\geq \sqrt{6+1}\geq 1[/tex].
Monotonia: [tex]x_{n+1}-x_n = \sqrt{x_n+6}-x_n = \frac{x_n+6-x_n^2}{\sqrt{x_n+6}+x_n}[/tex]. (2)
Ecuatia [tex]-x^2+x+6=0[/tex] are solutiile -2 si 3. Intre radacini,
[tex]-x^2+x+6>=0[/tex]. Din (1) si (2) rezulta ca [tex]x_n[/tex] e crescator.
