Răspuns:
a) Pentru a determina aria triunghiului \(ABC\), putem folosi relația dintre ariile triunghiurilor asemănătoare și raporturile laturilor acestora. Știm că raportul ariilor a două triunghiuri asemănătoare este pătratul raportului de scalare a laturilor corespunzătoare.
Avem: \(\frac{MN^2}{AC^2} = \frac{S_{MNC}}{S_{ABC}}\)
Și deoarece \(MN\) este mijlocul lui \(AC\), \(MN = \frac{AC}{2}\), iar \(S_{MNC} = 8 \, cm^2\). Deci, \(\frac{\left(\frac{AC}{2}\right)^2}{AC^2} = \frac{8}{S_{ABC}}\).
Simplificând, obținem: \(\frac{1}{4} = \frac{8}{S_{ABC}}\), deci \(S_{ABC} = 32 \, cm^2\).
b) Pentru a determina aria triunghiului \(BMN\), putem folosi același principiu al ariilor triunghiurilor asemănătoare. Deoarece \(BM\) este mijlocul lui \(BC\), știm că \(BM = \frac{BC}{2}\).
Avem: \(\frac{MN^2}{BC^2} = \frac{S_{BMN}}{S_{ABC}}\).
Și deoarece \(BC = 2 \cdot MN\), \(BC^2 = 4 \cdot MN^2\). Deci, \(\frac{MN^2}{4 \cdot MN^2} = \frac{S_{BMN}}{36\sqrt{5}}\).
Simplificând, obținem: \(\frac{1}{4} = \frac{S_{BMN}}{36\sqrt{5}}\), deci \(S_{BMN} = 9\sqrt{5} \, cm^2\).
