Răspuns:
i) Se face prin reducere la absurd. Presupunem ca [tex]\sqrt 2\in \mathbb Q[/tex], atunci putem scrie [tex]\sqrt 2= \frac{m}{n}[/tex], [tex]m,n\in\mathbb N[/tex] cu fractia [tex]\frac{m}{n}[/tex] ireductibila. Ridicand la patrat rezulta [tex] 2=\frac{m^2}{n^2}[/tex], deci [tex]m^2=2n^2[/tex].
Rezulta ca m este par, adica [tex]m=2m'[/tex]. Inlocuind, rezulta [tex](2m')^2=4m'^2=2n^2[/tex], deci [tex]n^2=2m'^2[/tex], de unde rezulta ca n e par, adica n=2n'. Prin urmare [tex]\frac{m}{n}=\frac{2m'}{2n'}=\frac{m'}{n'}[/tex], contradictie cu ireductibilitatea fractiei [tex]\frac{m}{n}[/tex].
ii) La fel se arata ca [tex]\sqrt[3]{4}[/tex] este irational.
iii) Presupunem prin absurd ca [tex]\sqrt 2-\sqrt 3\in\mathbb Q[/tex]. Atunci [tex](\sqrt 2 -\sqrt 3)^2=5-2\sqrt{6}\in\mathbb Q[/tex], deci [tex]\sqrt 6\in\mathbb Q[/tex], dar de aici se obtine o contradictie la fel ca in cazul i)
