Răspuns:
"Uc" banuiesc ca inseamna ultima cifra.
1) [tex]3^{42}=3^{40+2}=3^{40}\cdot 3^2 = 3^{4\cdot 10}\cdot 9 = (3^4)^{10}\cdot 9= 81^{10}\cdot 9[/tex]
Ultima cifra a lui [tex]81^{10}[/tex] este 1 (pentru ca ultima cifra a lui 81 e 1).
Rezulta ca ultima cifra a lui [tex]3^{42}[/tex] este 9.
[tex]2^{43}=2^{40}\cdot 2^3 = 2^{8\cdot 5}\cdot 8 = (2^8)^5\cdot 8 = 256^5 \cdot 8[/tex]
Ultima cifra a lui [tex]256^5[/tex] este 6 (pentru ca ultima cifra a lui 256 e 6). Rezulta ca ultima cifra a lui [tex]2^43[/tex] este ultima cifra a lui 6\cdot 8=48, adica este 8.
Atunci [tex]Uc(3^{42}+2^{43})=Uc(9+8)=Uc(17)=7[/tex].
2) [tex]Uc(2^{2018})=Uc(2^{2016}\cdot 2^2)=Uc(16^{504}\cdot 4) =Uc(6\cdot 4)=Uc(24)=4[/tex].
[tex]Uc(3^{2019})=Uc(3^{2016}\cdot 3^3)=Uc(81^{504}\cdot 27)=Uc(1\cdot 27)=7[/tex]
[tex]Uc(4^{2017})=Uc(4^{2016}\cdot 4)=Uc(16^{1008}\cdot 4)=Uc(6\cdot 4)=Uc(24)=4[/tex]
[tex]Uc(5^{2020})=5[/tex]
Prin urmare Uc(...)=Uc(4+7+4+5)=Uc(20)=0.
3)[tex]Uc(67^{38})=Uc(7^{38})=Uc(49^{19})=Uc(9^{19})=Uc(81^9\cdot 9)=Uc(1\cdot 9)=9[/tex]
[tex]Uc(92^{43})=Uc(2^{43})=Uc(2^{40}\cdot 2^3)=Uc(16^{10}\cdot 8)=Uc(6\cdot 8)=Uc(48)=8[/tex]
Rezultatul = Uc(9+8)=7.
4) [tex]Uc(1998^{1999})=Uc(8^{1999})=Uc((2^3)^{1999})=Uc(2^{5997}) =Uc(2^{5996}\cdot 2)=Uc(16^{1499}\cdot 2)=Uc(6\cdot 2)=2[/tex]
5) [tex]Uc(11^3+22^3+\cdots+99^3)=Uc(1^3+2^3+\cdot+9^3)=Uc(1+8+7+4+5+6+3+2+9)=Uc(45)=5[/tex]
Exista si formula [tex]1^3+2^3+\cdots+9^3=\left(\frac{9\cdot 10}{2}\right)^2 = 45^2[/tex] dar nu cred ca ai facut-o.
