Răspuns:
1) Notam [tex]y=3^x[/tex] si observam ca y>0.
Ecuatia [tex]9^x-4\cdot 3^x +3 =0[/tex] devine [tex]y^2-4y+3=0[/tex]
[tex]\Delta=16-12=4>0[/tex] si [tex]y_1=\frac{4-2}{2}=1,\; y_2=\frac{4+2}{2}=3[/tex].
Ambele solutii sunt >0.
I. Daca [tex]3^x=y_1=1[/tex] atunci [tex]x_1=0[/tex].
II.Daca [tex]3^x=y_2=3[/tex] atunci [tex]x_2=1[/tex].
2) Inmultesti inecuatia cu [tex](2+3^x)[/tex] care e >0 si se obtine inecuatia echivalenta [tex] 3^x(2+3^x)-15 = 9^x +2\cdot 3^x - 15>0.[/tex]
Notam [tex]y=3^x[/tex] si observam ca y>0. Inlocuind, obtinem:
[tex] y^2 + 2y - 15 >0.[/tex]
Acum [tex]\Delta=64[/tex] si [tex]y_1=\frac{-2-8}{2}=-5,\;y_2=\frac{-2+8}{2}=3[/tex].
Prin urmare [tex] y^2 + 2y - 15 >0.[/tex] daca si numai daca [tex] y\in (-\infty,-5)\cup (3,\infty)[/tex]. Pe de alta parte, [tex]y=3^x>0[/tex], deci avem [tex] y\in (3,\infty)[/tex] adica y>3.
[tex]y=3^x>3=3^1[/tex] daca si numai daca x>1. Deci solutia inecuatiei este [tex]x\in (1,\infty)[/tex]
Se poate rezolva insa, mai simplu, cu functii:
Fie [tex]f:\mathbb R \to \mathbb R, f(x)=3^x-\frac{15}{2+3^x}[/tex].
Observam ca f este strict crescatoare, pentru ca f(x)=g(x)-h(x), unde
[tex]g(x)=3^x[/tex] este strict crescatoare si [tex]h(x)=\frac{15}{2+3^x}[/tex] este strict descrescatoare (pentru ca [tex]3^x+2[/tex] e crescatoare).
Pe de alta parte, f(1)=0. Cum f e strict crescatoare, rezulta ca f(x)>0 daca si numai daca x>1.
3) E o durere de cap sa scrii conditiile de existenta. Eu insa le-as ignora si as rezolva ecuatia.. obtin niste solutii si vad daca au sens. Adica:
[tex] \log_5 \frac{4x^2-1}{3-x} + \log_5 \frac{3-x}{9+3x} = \log_5 \frac{(4x^2-1)(3-x)}{(3-x)(9+3x)} = \log_5 \frac{4x^2-1}{9+3x} = 0 =\log_5 1, [/tex]
de unde [tex] \frac{4x^2-1}{9+3x}=1 [/tex] deci [tex]4x^2-1=9+3x[/tex] deci [tex]4x^2-3x-10=0[/tex]. [tex]\Delta=9+160=169=13^2[/tex]. Rezulta ca[tex]x_1=-5/4[/tex] si [tex]x_2=2[/tex]. Si cei doi logaritmi de la inceput au sens cand inlocuiesti x cu [tex]x_1[/tex] si cu [tex]x_2[/tex]. Deci ambele solutii verifica conditiile de existenta.
