👤

Ma poate ajuta cineva? Va rog.​
Fara d si g.


Ma Poate Ajuta Cineva Va RogFara D Si G class=

Răspuns :

Răspuns:

a) Criteriul radacinii:

[tex]\lim_n \sqrt[n]{\frac{n}{(n+\frac{1}{n})^{n^2}}} = \lim_n \frac{\sqrt[n]{n}}{(1+\frac{1}{n})^n} = \frac{1}{e}<1[/tex] deci seria e convergenta.

b) [tex] x_n=\frac{3n^{n+1}}{(2n+1)^n}= \frac{3n\cdot n^n}{2^n (n+\frac{1}{n})^n} = \frac{3n}{2^n}\cdot \frac{n^n}{(n+\frac{1}{n})^n} \leq \frac{3n}{2^n}=y_n.[/tex]

Daca aratam ca [tex]\sum_{n=1}^{\infty}y_n[/tex] e convergenta, atunci, din criteriul comparatiei, rezulta ca [tex]\sum_{n=1}^{\infty}x_n[/tex] e convergenta. Se aplica criteriul raportului:

[tex]\lim_n \frac{y_{n+1}}{y_n} = \lim_n \frac{3(n+1)}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{3n} = \lim_n \frac{3n+3}{6n} = \frac{1}{2}<1[/tex], deci  [tex]\sum_{n=1}^{\infty}y_n[/tex] e convergenta.

c) Criteriul raportului.

[tex]\lim_n \frac{(n+1)a^{n+1}}{na^n} =\lim_n \frac{(n+1)a}{n}=a[/tex].

Daca a<1, atunci seria e convergenta. Daca a>1, atunci seria e diverenta. Daca a=1, seria devine [tex]\sum_{n=1}^{\infty}n[/tex] care e divergenta din criteriul necesar:[tex] \lim_n n = \infty\neq 0[/tex].

e) Tot cu criteriul raportului. convergenta pentru [tex]\alpha\leq 1[/tex] si divergenta pentru [tex]\alpha>1[/tex]. Observatie: Pentru [tex]\alpha=1[/tex] seria [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2-1}[/tex] e convergenta pentru ca [tex]\frac{1}{4n^2-1}\leq \frac{1}{n^2}[/tex] si [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/tex] este convergenta (Seria armonica generalizata).

f) Criteriul radacinii:

[tex]\lim_n \sqrt[n]{\frac{(ln n)^{-n}}{n}} = \lim_n \frac{1}{\sqrt[n]{n(ln n)^n}} =\lim_n \frac{1}{ln n \sqrt[n]{n}} = 0<1,[/tex] deci seria e convergenta.

h) Criteriul radacinii: Practic trebuie calculata:

[tex]\lim_n\left( \frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^p}-\frac{n}{(p+1)} \right) = \lim_n \frac{(p+1)(1^p+\cdots+n^p) - n^{p+1}}{(p+1)n^p} [/tex]

si aia merge cu Cesaro-Stolz... dar e mult de scris. :( Daca n-am gresit la calcule, mi-a dat 1/2, adica seria e convergenta.

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!


En Studentsy: Alte intrebari