Răspuns:
Frumoasa problema. Eu as lua-o muncitoreste. Notam:
[tex]z_1=x_1+y_1i, z_2=x_2+y_2i,z_3=x_3+y_3i[/tex]
Atunci [tex]\frac{z_2-z_1}{z_3-z_2} = \frac{(x_2-x_1)+(y_2-y_1)i}{(x_3-x_2)+(y_3-y_2)i}=w[/tex]
Prin urmare, [tex](x_2-x_1)+(y_2-y_1)i = w[(x_3-x_2)+(y_3-y_2)i]. [/tex]
Presupunem ca [tex]w\in\mathbb R[/tex]. Din relatia anterioara rezulta ca
[tex]x_2-x_1=w(x_3-x_2),\; y_2-y_1=w(y_3-x_2)[/tex]
De aici rezulta ca [tex] \vec{A_1A_2}=w\vec{A_2A_3}[/tex],
deci punctele A1.A2 si A3 sunt coliniare.
Reciproc, daca A1,A2 si A3 sunt coliniare, atunci [tex] \vec{A_1A_2}=w\vec{A_2A_3}[/tex], deci
[tex]x_2-x_1=w(x_3-x_2),\; y_2-y_1=w(y_3-x_2)[/tex].
de unde se ajunge la [tex]\frac{z_2-z_1}{z_3-z_2} = \frac{(x_2-x_1)+(y_2-y_1)i}{(x_3-x_2)+(y_3-y_2)i}=w[/tex]
