Răspuns:
Explicație pas cu pas:
pentru ultimul subpunct vom folosi rezultatele din subpunctele precedente, adica AB=8cm, AM=6cm, MD=2√21cm, MA⊥(ABC). ΔABC echilateral.
Rezolvare. ∡(MD,AC)=???
Trasam DE║AC, E∈AB. Deoarece D este mijloc de latura, atunci si E este mijlocul laturii AB, dupa teorema Thales. Deci DE este linie mijlocie in ΔABC , atunci DE=(1/2)AC=(1/2)·8=4cm. BE=EA=4cm.
Atunci ∡(MD,AC)=∡(MD, DE)=∡MDE, deoarece DE║AC.
ΔMAE dreptunghic in A, deci ME²=MA²+AE²=6²+4²=36+16=52=4·13, deci ME=√(4·13)=2√13.
Aplicam Teorema Cosinusului in ΔMED.
ME²=MD²+ED²-2·MD·DE·cos(∡MDE),
[tex](2\sqrt{13})^{2}=(2\sqrt{21})^{2}+4^{2}-2*2\sqrt{21}*4*cos(MDE)\\ 52=84+16-2*2*\sqrt{21}*4*cos(MDE),~cos(MDE)=\frac{84+16-52}{16\sqrt{21} } =\frac{48}{16*\sqrt{21} } =\frac{3}{\sqrt{21} }=\frac{3*\sqrt{21} }{(\sqrt{21} )^{2}}= \frac{3*\sqrt{21} }{21}= \frac{\sqrt{21} }{7}[/tex]
deci cos(∡(MD,AC))=√21 / 7
