Asta e intrebare pentru anul 1 de facultate.
Se aplica procedeul Gram-Schmidt.
Mai intai se construieste o baza ortonormala, astfel:
[tex]u_1=v_1=(1,0,1) [/tex]
[tex]u_2=v_2+\alpha v_1 [/tex] cu conditia [tex] <u_2,v_1>=0 [/tex]
Dar [tex] <u_2,v_1>= <v_2,v_1>+\alpha <v_1,v_1> = 1+2\alpha=0, [/tex]
deci [tex]\alpha=-1/2[/tex]. Rezulta ca
[tex]u_2=(0,1,1)-\frac{1}{2}(1,0,1) =(-\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})[/tex]
[tex] u_3 = v_3 + \beta v_2 + \gamma v_1 [/tex] cu conditiile
[tex] <u_3,v_1>=<u_3,v_2>=0 [/tex]. De aici se obtine sistemul
[tex] <v_3,v_1>+\beta <v_2,v_1> + \gamma <v_1,v_1> = 1+\beta+2\gamma = 0 [/tex]
[tex] <v_3,v_2>+\beta <v_2,v_2> + \gamma <v_1,v_2> = 2\beta+\gamma = 0 [/tex]
Se obtine [tex] \beta = \frac{1}{3},\gamma=-\frac{2}{3} [/tex], de unde se calculeaza [tex]u_3[/tex].
Avem [tex] ||u_1|| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2} [/tex] si definim
[tex]w_1=\frac{u_1}{||u_1||} = (\frac{1}{\sqrt 2}, 0, \frac{1}{\sqrt 2})[/tex]
Similar, [tex] w_2 = \frac{u_2}{||u_2||}, w_3=\frac{u_3}{||u_3||} [/tex]
Atunci [tex]\{w_1,w_2,w_3\}[/tex] este baza ortonormata cautata.
