A = {[tex]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/tex] | [tex]\displaystyle{ -2 \leqslant \frac{2x-3}{3} < 1 }[/tex] }
a) Aratati ca A = [-3/2, 3)
Se ia inecuatia cu necunoscuta x din multimea A.
[tex]\displaystyle{ -2 \leqslant \frac{2x-3}{3} < 1 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ -6 \leqslant 2x - 3 < 3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ -3 \leqslant 2x < 6 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ -\frac{3}{2} \leqslant x < 3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \rightarrow x \in [-\frac{3}{2}, 3) }[/tex]
(q.e.d.)
b) Aratati ca numarul a apartine multimii A. (presupun ca asta scrie, nu se vede toata cerinta intrucat este decupata imaginea)
[tex]\displaystyle{ a = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} }[/tex]
- Se rationalizeaza primele doua fractii pentru a obtine numitor comun. Prima fractie se va amplifica cu radical din 3 + radical din 2, iar a doua se va amplifica cu radical din 3 - radical din 2.
[tex]\displaystyle{ a = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3-2} - \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3-2} }[/tex]
- Observam ca numitorul ambelor fractii este 1, deci nu mai are rost sa il scriem.
[tex]\displaystyle{ a = \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ a = \sqrt{2} + \sqrt{2} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ a = 2\sqrt{2} }[/tex]
- Acum trebuie sa aratam ca numarul 2 radical din 2 apartine intervalului [-3/2, 3)
Luam prima parte a inecuatiei:
[tex]\displaystyle{ -\frac{3}{2} \leqslant 2\sqrt{2} }[/tex]
-3/2 este un numar negativ. 2 radical din 2 este un numar pozitiv. Deci relatia este adevarata. (1)
Luam a doua parte a inecuatiei:
[tex]\displaystyle{ 2\sqrt{2} < 3 }[/tex]
- Se ridica la patrat (putem face acest lucru intrucat ambele numere sunt pozitive)
4 × 2 < 3²
8 < 9
Relatia este adevarata. (2)
Din (1) + (2) ⇒ a ∈ A
(q.e.d.)
