Răspuns :
Explicație pas cu pas:
Avem:
[tex]P(n): 7+77+777+...+77..77 (de~n~ori)=\frac{7*(10^{n+1}-9*n-10)}{81}, n~natural~\geq 1[/tex]
Aplicam principiul intai al inductiei matematice.
1) Etapa de verificare:
Daca n=1, atunci:
[tex] P(1): 7=\frac{7*(10^{1+1}-9*1-10)}{81}=\frac{7*(100-9-10)}{81}=\frac{7*81}{81}=7[/tex]
Deci, P(1) este adevarata.
2) Etapa inductiva:
Presupunem P(k) adevarata, unde:
[tex]P(k): 7+77+777+...+77..77 (de~k~ori)=\frac{7*(10^{k+1}-9*k-10)}{81}[/tex]
Demonstram P(k+1) adevarata, unde:
[tex]P(k+1): 7+77+777+...+77..77 (de~k+1~ori)=\frac{7*(10^{k+1+1}-9*(k+1)-10)}{81}[/tex]
Observam ca:
[tex]7+77+777+...+77..77 (de~k+1~ori)-(7+77+777+...+77..77 (de~k~ori))=7+77+777+...+77..77(de~k~ori)+77..77 (de~k+1~ori)-7-77-777-...-77..77(de~k~ori)=77..77(de~k+1~ori)[/tex]
Aratam aceasta egalitate, folosindu-ne de datele prezentate mai sus. Facem scaderea relatiilor matematice prezente in P(k+1) si P(k).
[tex]\frac{7*(10^{k+1+1}-9*(k+1)-10)}{81}-\frac{7*(10^{k+1}-9*k-10)}{81}=\frac{7*(10^{k+1+1}-9*(k+1)-10)-(7*(10^{k+1}-9*k-10))}{81}=\frac{7*(10^{k+2}-9k-9-10)-7*10^{k+1}+7*9k+7*10}{81}=\frac{7*10^{k+2}-7*10^{k+1}-7*9k+7*9k-7*9-70+70}{81}=\frac{7*10^{k+1}(10-1)-63}{81}=\frac{7*9*10^{k+1}-63}{81}=\frac{63*(10^{k+1}-1)}{81}=\frac{7*(10^{k+1}-1)}{9}[/tex]
[tex]\frac{7*(10^{k+1}-1)}{9}=\frac{7*(10*10*...*10(de~k+1~ori)-1)}{9}=\frac{7*99..99(de~k+1~ori)}{9}=7*11...11(de~k+1~ori)=77...77(de~k+1~ori)[/tex]
Numarul obtinut este exact forma unui numar reprezentat prin cifre de 7.
Asadar, si P(k+1) este adevarata.
Deci, din 1) si 2) conform principiului I al inductiei matematice P(n) este adevarata.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!