Răspuns:
S={x€Z | x=7k-3, k€IN}
Explicație pas cu pas:
Pentru ca o fracție sa se simplifice printr-un anumit număr, atunci și numărătorul și numitorul trebuie sa se împartă exact la acel număr.
Știm că fracția se simplifica prin 7. Deci avem:
7|3x+2
7|4x+5
Așadar, ai 3x+2 și 4x+5 sunt multipli de 7.
Scriem primii multipli naturali de 7.
M7={0,7,14,21,28,35,42...}
Daca 3x+2 este multiplu de 7, atunci:
3x+2€{0,7,14,21,28,35,42...}
3x€{-2,5,12,19,26,33,40...}
x€{-2/3,5/3,4,19/3,11,40/3...}
Cum x este întreg, x€{4,11....}.
Procedam analog și cu 4x+5.
4x+5€{0,7,14,21,28,35,42,49...}
4x€{-5,2,9,16,23,30,37,44...}
x€{-5/4,2/4,9/4,4,30/4,37/4,11...}
Cum x este întreg, x€{4,11....}.
Observăm că am obținut aceeași mulțime de soluții. Daca am continua lista, am observa că numerele vor fi aceleași.
Avem o infinitate de soluții, dintre care primele doua sunt 4 și 11.
Putem generaliza.
4=7•1-3
11=7•2-3
Deci o soluție a acestui exercițiu este de forma: 7k-3, k fiind număr întreg.
Notăm S mulțimea de soluții.
S={x€Z | x=7k-3, k€IN}
