Explicație pas cu pas:
Cum noua ni se cere sa determinam sinus si cosinus pentru unghiurile A si B, atunci este clar ca unghiul C este unghiul drept.
Caz 1: Consideram AB=15, AC=12 si BC=9.
Pct a)
Aplicam reciproca teoremei lui Pitagora:
BC²=81
AC²=144
AB²=225
Cum, AB²=BC²+AC² (pentru ca 225=81+144), atunci triunghiul ABC este dreptunghic in C.
Pct b)
Pentru a determina sin A, cos A, sin B si cos B sunt mai multe metode.
Voi prezenta doua dintre acestea.
Metoda 1:
Stiind ca triunghiul ABC este dreptunghic in C, atunci:
sinA=BC/AB=9/15=3/5
cosB=sinA=BC/AB=9/15=3/5
cosA=AC/AB=12/15=4/5
sinB=cosA=AC/AB=12/15=4/5
Metoda 2:
Aplicam teorema cosinusului si determinam cosA si cosB.
cosA=(AC²+AB²-BC²)/2AC*AB=(144+225-81)/(2*12*15)=288/360=4/5
cosB=(BC²+AB²-AC²)/2BC*AB=(81+225-144)/(2*9*15)=162/270=3/5
Aflandu-ne in triunghiul dreptunghic, stim ca:
cosA=sinB=4/5
cosB=sinA=3/5
Desigur, aceste valori se puteau gasi si daca am fi aplicat relatia fundamentala a trigonometriei.
Caz 2: Consideram AB=15, AC=9 si BC=12.
Pct a)
Aplicam reciproca teoremei lui Pitagora:
BC²=144
AC²=81
AB²=225
Cum, AB²=BC²+AC² (pentru ca 225=81+144), atunci triunghiul ABC este dreptunghic in C.
Pct b)
Pentru a determina sin A, cos A, sin B si cos B sunt mai multe metode.
Voi prezenta doua dintre acestea.
Metoda 1:
Stiind ca triunghiul ABC este dreptunghic in C, atunci:
sinB=BC/AB=9/15=3/5
cosA=sinB=BC/AB=9/15=3/5
cosB=AC/AB=12/15=4/5
sinA=cosB=AC/AB=12/15=4/5
Metoda 2:
Aplicam teorema cosinusului si determinam cosA si cosB.
cosA=(AC²+AB²-BC²)/2AC*AB=(81+225-144)/(2*9*15)=3/5
cosB=(BC²+AB²-AC²)/2BC*AB=(144+225-81)/(2*12*15)=4/5
Aflandu-ne in triunghiul dreptunghic, stim ca:
cosA=sinB=3/5
cosB=sinA=4/5
Desigur, aceste valori se puteau gasi si daca am fi aplicat relatia fundamentala a trigonometriei.
Precizare: Dupa depistarea ipotenuzei AB, sunt doua cazuri: fie AC=9 si BC=12, fie AC=12 si BC=9. Cum problema nu a precizat, a fost necesara detalierea.
