Răspuns:
Explicație:
ex12.
Aria(MNPQRS)=Aria(ΔABC)+3·Aria(ABMN)+3·Aria(ΔAPN);
Aria(ΔABC)=(1/2)·AB·AC·sinA=(1/2)·a·a·sin60°=(1/2)·a·a·√3 /2=(a²√3)/4.
3·Aria(ABMN)=3·AB²=3a².
ΔAPN isoscel, AP=AN=a, ⇒∠P≡∠N, m(∡NAP)=360°-m(∡NAB)-m(∡BAC)-m(∡CAP)=360°-90°-60°-90°=360°-240°=120°.
⇒m(∡P)+m(∡N)=180°-120°=60°, deci m(∡APN)60°:2=30°. Atunci in ΔAPD, AD=AP/2=a/2. T.P. ⇒PD²=PA²-AD²=a²-(a/2)²=a²- a²/4 = (3a²)/4. Atunci PD=√((3a²)/4)=(a√3)/2. Atunci PN=2·PD=a√3.
Deci 3·Aria(ΔAPN)=3·(1/2)·PN·AD=3·(1/2)·a√3 ·a/2 = (3√3a²)/4
Deci Aria(MNPQRS)=Aria(ΔABC)+3·Aria(ABMN)+3·Aria(ΔAPN)=(a²√3)/4 + 3a² + (3√3a²)/4 = 3a² + (4√3a²)/4 =3a² +a²√3 = a²·(3+√3)
Ex13.
Dacă AB este egală cu latura triunghiului regulat înscris în acest cerc, atunci AB=R√3=10√3 cm.
Dacă CD este egală cu latura hexahonului regulat înscris în acest cerc, atunci CD=R=10 cm.
ABCD trapez, Aria(ABCD)=(AB+CD)·EF/2, unde EF este înălţime.
ΔOBF dreptunghic, OB=R=10, FB=AB/2=5√3.
Din T.P. ⇒OF²=OB²-FB²=10²-(5√3)²=100-75=25. ⇒OF=√25=5
ΔOCE dreptunghic, OC=R=10, CE=CD/2=10/2=5.
Din T.P. ⇒OE²=OC²-CE²=10²-5²=75, ⇒OE=√75 =5√3.
Atunci EF=EO+OF=5√3 + 5 =5(1+√3)
⇒Aria(ABCD)=(AB+CD)·EF/2=(10√3 + 10)·5·(1+√3)/2=10·(1+√3)·5·(1+√3)/2=
= 25·(1+√3)²=25·(1+2√3+(√3)²)=25·(1+2√3 + 3)=25·(4+2√3)=25·2·(2+√3)=50·(2+√3) cm²
