👤
ENANDREY44XD
a fost răspuns

Aratati ca numarul N = 1+3+5+7...+999 este patratul unui numar natural.Cum se rezolva problema asta?

Răspuns :

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Progresie aritmetica

a1 = 1

an = 999

r = 2

an = a1 + (n-1)r

999 = 1 + 2(n - 1) = 1 + 2n - 2 = 2n - 1

n = (999 + 1)/2 = 1000/2 = 500 (numarul termenilor din suma)

N = 500 (1 + 999)/2 = 1000*250 = 10000*25 = 100^2 * 5^2 = (100*5)^2 = 500^2, deci patratul lui 500 care este numar natural

ENRAYZEN

1 = [(1+1)/2]²

1+3 = 4 = [(3+1)/2]² = 2²

1+3+5 = 9 = [(5+1)/2]² = 3²

1+3+5+7 = 16 = [(7+1)/2]² = 4²

⋮

1+3+5+7+...+n = [(n+1)/2]² (formulă)

Demonstrez prin inducție matematică.

P(n) = 1+3+5+7+...+n = [(n+1)/2]²

P(n+2) = 1+3+5+7+...+n+(n+2) = [(n+2+1)/2]² = [(n+3)/2]²

P(1), P(3), P(5) și P(7) au fost deja demonstrate anterior.

P(k) = 1+3+5+7+...+k= [(k+1)/2]²

P(k+2) = 1+3+5+7+...+k+(k+2) = [(k+1)/2]² + k+2 =

= (k+1)²/4 + k+2 = [(k+1)²+4k+8]/4 = [(k²+6k+9)/4] = [(k+3)/2]²   (A)

⇒ 1+3+5+7+...+999 = [(999+1)/2]² = (1000/2)² = 500²

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!


En Studentsy: Alte intrebari