Răspuns:
a. 24·(√3 + 1)
b. (√3)/2
c. 25%
Explicație pas cu pas:
AM mediană, AM=8√3 , sinACB=1/2m. AD⊥BC
a. Perimetrul(ΔABC)=AB+BC+AC.
M este mijlocul ipotenuzei şi centrul cercului circumscris triunghiului, deci AM=CM=BM=raza, deci BC=BM+MC=2·raza=2·8√3=16√3.
sinACB=1/2, dar din definiţia sinusului. el este egal cu raportul dintre cateta opusă unghiului către ipotenuză, deci sinACB=AB/BC, înlocuim:
1/2=AB/(16√3), deci AB=(16√3)/2=8√3.
Conform T.P. ⇒AC²=BC²-AB², AC²=(16√3)²-(8√3)²=256·3-64·3=64·3·(4-1)=64·9
Deci AC=√(64·9)=8·3=24
Atunci Perimetrul(ΔABC)=AB+BC+AC=8√3+16√3+24=24√3 + 24 =24·(√3 + 1)
b. cosACB=AC/BC=24/(16√3)=3/(2√3)=(3·√3)/(2·(√3)²)=(3·√3)/(2·3)=√3/2.
c. Aria(ABC)=(1/2)·AB·AC=(1/2)·(8√3)·24=24·4√3.
Aria(ABD)=(1/2)·BD·AD, pe care încă nu le cunoaştem.
Aria(ΔABC)=(1/2)·BC·AD=(1/2)·16√3 ·AD=8√3 ·AD
deci 8√3 ·AD=24·4√3, de unde AD=(24·4√3)/(8√3)=12
Din ΔABD după T.P. ⇒BD²=AB²-AD²=(8√3)²-12²=64·3-12·12=12(16-12)=12·4
BD=√(16·3)=4√3
Atunci Aria(ABD)=(1/2)·BD·AD=(1/2)·(4√3)·12=12·2√3
Aria(ABC) .... 100%
Aria(ABD) ... x%
x%=Aria(ABD) ·100/ Aria(ABC) =((12·2√3)·100) / (24·4√3) =100/4=25%
