👤

Limita de la ex 10 va rog

Limita De La Ex 10 Va Rog class=

Răspuns :

[tex]l_1 = \lim\limits_{x\to 0}(\cos x\cdot \cos 2x\cdot ...\cdot \cos nx)^{\dfrac{1}{n^3x^2}}\\ \\ \ln(l_1) = \lim\limits_{x\to 0}\Big[\ln(\cos x\cdot \cos 2x\cdot ...\cdot \cos nx)^{\dfrac{1}{n^3x^2}}\Big] = \\ \\ = \lim\limits_{x\to 0}\ln\Big[\prod\limits_{k=1}^n {\cos(kx)\Big]}^{\dfrac{1}{n^3x^2}} =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln\Big[\prod\limits_{k=1}^n {\cos(kx)\Big]}}{n^3x^2}=[/tex][tex]=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sum\limits_{k=1}^n \ln(\cos kx)}{n^3x^2}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{-k\sin(kx)}{\cos(kx)}}{2n^3x} = \\\\ = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sum\limits_{k=1}^n -k\tan(kx)}{2n^3x} =\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{-k^2}{\cos^2 (kx)}}{2n^3}= \\ \\ =\dfrac{-\sum\limits_{k=1}^n k^2}{2n^3} =\dfrac{-\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2n^3} =\\ \\\\ = -\dfrac{2n^3+3n^2+n}{12n^3}[/tex]

[tex]\Rightarrow l_1 = e^{-\dfrac{2n^3+3n^2+n}{12n^3}}\\ \\ \Rightarrow L =\lim\limits_{n\to \infty} e^{-\dfrac{2n^3+3n^2+n}{12n^3}} = e^{-\dfrac{2}{12}} = \boxed{e^{-\dfrac{1}{6}}}[/tex]

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!


En Studentsy: Alte intrebari