Răspuns :
[tex]f(x) = \dfrac{2^x-x^2}{x-2}\\ \\\\ \underline{\text{Asimptote verticale:}} \\ \\ \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{2^x-x^2}{x-2} = \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{2^x\ln 2 - 2x}{1}= 4\ln2 -4\neq \pm \infty \\ \\ \Rightarrow \text{Nu exista asimptote verticale.}\\ \\\\ \underline{\text{Asimptote orizontale:}}\\ \\ \lim\limits_{x\to \pm \infty}\dfrac{2^x-x^2}{x-2} = \lim\limits_{x\to \pm \infty}(2^x\ln 2 - 2x) = +\infty \\ \\ \Rightarrow \text{Nu exista asimptote orizontale.}[/tex]
[tex]\underline{\text{Asimptote oblice:}} \\ \\ \lim\limits_{x\to \pm \infty} \Big(\dfrac{2^x-x^2}{x-2}-mx-n\Big) =\\ \\ =\lim\limits_{x\to \pm \infty} \Big(\dfrac{2^x-x^2-mx^2+2mx}{x-2}\Big)-n =\\ \\ = \lim\limits_{x\to \pm \infty} \Big(\dfrac{2^x\ln 2-2x-2mx+2m}{1}\Big)-n\\ \\\\ \text{Observam ca daca x} \to \infty,\quad \text{limita intotdeauna va fi }+\infty[/tex]
[tex]\text{Deci nu avem asimptota oblica spre }+\infty.[/tex]
[tex]\Rightarrow \lim\limits_{x\to -\infty}\Big(2^x\ln 2-2x(1+m)+2m}\Big)-n = \\ \\ =0+\lim\limits_{x\to -\infty}\Big(-2x(1+m)+2m}\Big)-n = \\\\ \Rightarrow 1+m = 0 \text{ deoarece vrem ca limita sa fie finita} \Rightarrow m = -1 \\ \\= \lim\limits_{x\to -\infty} \Big(2\cdot(-1)\Big) - n = -2-n\\ \\ \Rightarrow -2-n = 0 \Rightarrow n = -2 \\ \\ \Rightarrow y = mx+n \Rightarrow \boxed{y = -x-2\,\,\big|\,\,\text{asimptota oblica spre }-\infty}[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!