Explicație pas cu pas:
Cand suntem in fata unui exercitiu si dorim sa aplicam metoda schimbarii de variabila in calculul integralei, avem ca scop obtinerea unei integrale mult mai usor de rezolvat sau a unei integrale a carei formule o cunoastem.
Ideea principala este ca trebuie notata o expresie matematica in mod convenabil cu un t (de exemplu) astfel incat integrala sa arate mai frumos. Desigur daca noi avem functia in functie de x si o aducem intr-o forma cu t nu mai integram dx, ci dt. Pentru a descoperi dt, trebuie sa derivam expresia pe care am substituit-o cu t in functie de x si sa scoatem din ecuatia formata dt.
Exemple:
1) f(x)=lnx/x
Notam lnx=t => 1/x dx=dt.
Deci, cand integram in functie de x aveam ∫lnx/x dx. Dar daca lnx=t, atunci 1/x dx este chiar dt si integrala devine ∫t dt.
2) f(x)=[tex] xe^{x^2} [\tex]
Notam x^2=t => 2xdx=dt => xdx=dt/2.
Deci, cand integram in functie de x aveam ∫[tex] xe^{x^2} [\tex] dx. Dar daca x^2=t, atunci xdx este chiar dt/2 si integrala devine ∫e^t dt/2.
Desigur, daca calculam integrala nedefinita rezultatul obtinut este in functie de t. Este bine daca finalizam calculul in x. Deci, vom inlocui peste tot t cu expresia pe care a inlocuit-o pe parcursul calculului.
Exemplu:
1) f(x)=lnx/x
Notam lnx=t => 1/x dx=dt.
∫lnx/x dx=∫t dt=t^2/2 +C=ln^2 x/2+C
Daca avem de calculat o integrala definita, atunci este necesar sa schimbam capetele de integrare.
Exemplu:
1) f(x)=lnx/x si am vrea integrala de la 1 la e
Notam lnx=t => 1/x dx=dt.
Daca x=1 => t=ln 1=0.
Daca x=e => t=ln e=1.
Integrala de la 1 la e din lnx/x dx=integrala de la 0 la 1 din t dt=t^2/2 de la 0 la 1=1/2.
