👤

Fie multimea M={x∈R : |x|>=1, radical de ordinul 2017 din x + radical din x^2-1 ( toata aceasta este sub radicalul de ordin 2017) + radical de ordinul 2017 din x - radical din x^2-1( toate sunt sub radicalul de ording 2017) = 2 }
Sa se determine suma din x^2, x ∈ R


Răspuns :

[tex]\sqrt[2017]{x+\sqrt{x^2-1}}+\sqrt[2017]{x-\sqrt{x^2-1}} = 2\\ \\ a = \sqrt[2017]{x+\sqrt{x^2-1}}\\ b = \sqrt[2017]{x-\sqrt{x^2-1}} \\ \\ ab = \sqrt[2017]{(x+\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})}} =\sqrt[2017]{x^2-(x^2-1)} = 1\\ \\ a+b = 2\Big|^2 \Rightarrow a^2+2ab+b^2= 4 \Rightarrow a^2+2+b^2 = 4 \Rightarrow \\ \\\Rightarrow a^2+b^2 = 2 \\ \\ \begin{cases} a+b = 2 \\ a^2+b^2 = 2\end{cases}\Bigg| \Rightarrow (a = 0\,\text{ si }\,b = 0)\quad \text{sau}\quad (a=1\,\text{ si }\,{ b = 1})[/tex]

[tex](a = 0\,\text{ si }\,b = 0)\quad (F) \\ \\ \text{Deoarece }x\pm\sqrt{x^2-1} = 0 \Rightarrow x = \mp\sqrt{x^2-1} \Rightarrow x^2 = x^2-1\, (F) \\ \\ (a=1\, \text{ si }\, b=1) \\ \\ \Rightarrow \sqrt[2017]{x-\sqrt{x^2-1}} = 1\Big|^{2017} \Rightarrow x-\sqrt{x^2-1} = 1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \sqrt{x^2-1} = x-1 \Rightarrow x^2-1 = x^2-2x+1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow \boxed{x = 1} \\ \\ \Rightarrow \sqrt[2017]{x-\sqrt{x^2-1}} = 1 \Rightarrow \text{ (... ...) }\Rightarrow \boxed{x = 1}[/tex]

[tex]\Rightarrow M = \{1\} \cap \{1\} \Rightarrow M = \{1\} \\ \\ \Rightarrow \displaystyle \sum\limits_{x\in M} x^2 = 1^2 = \boxed{1}[/tex]

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!


En Studentsy: Alte intrebari