👤
a fost răspuns

Se consideră în Z2[x] polinomul [tex]f=x^3 + x^2 + x + 1[/tex] (cu căciuliță).
a) Aflați rădăcinile lui f în Z2[X].
b) Arătați că f nu se divide cu polinomul g = X.
c) Demonstrați că polinomul h=[tex]x^4+1[/tex] se divide cu polinomul f.

Răspuns :

ENRAYZEN

a)

[tex]f = x^3+x^2+x+1 \\ \\ f = x(x^2+1)+x^2+1 = (x^2+1)(x+1)\\ \\(1)\quad x^2 +1 =0 \Rightarrow x^2+1-2 = 0 \Rightarrow x^2-1 = 0 \Rightarrow\\ \Rightarrow (x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow (x+2-1)(x+1) = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (x+1)(x+1) = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1\\ \\ (2)\quad x+1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ \\ \text{Singura radacina este }x = 1[/tex]

b)

[tex]\text{f se divide cu g = x daca f(solutia lui g) = 0}\\ \\ g = 0 \Rightarrow x = 0 \\ \\ f = x^3+x^2+x+1\\ \\ f(0) = 0+0+0+1 = 1\neq 0[/tex]

c)

[tex]h = x^4+1 \text{ se divide cu polinomul f, daca h(radacina lui f) = 0}\\ \\ \text{Am aflat ca singura radacina a lui f este }x = 1 \\ \\ h(1) = 1^4+1 = 1+1 = 2 = 0\\ \\ \Rightarrow h = x^4+1 \text{ se divide cu polinomul f}[/tex]

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!


En Studentsy: Alte intrebari