Răspuns :
Salut,
[tex]\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(tg^5x+tg^7x+tg^9x+tg^{11}x)dx=\int_{0}^\frac{\pi}{3}[tg^5x(1+tg^2x)+tg^9x(1+tg^2x)]dx=\\\\=\int_{0}^\frac{\pi}{3}(1+tg^2x)(tg^5x+tg^9x)dx=\int_{0}^\frac{\pi}{3}\left(1+\dfrac{sin^2x}{cos^2x}\right)(tg^5x+tg^9x)dx=\\\\=\int_{0}^\frac{\pi}{3}\dfrac{sin^2x+cos^2x}{cos^2x}\cdot(tg^5x+tg^9x)dx=\int_{0}^\frac{\pi}{3}\dfrac{1}{cos^2x}\cdot(tg^5x+tg^9x)dx=\\\\=\int_{0}^\frac{\pi}{3}(tgx)^{'}\cdot(tg^5x+tg^9x)dx=\int_{0}^\frac{\pi}{3}(tgx)^{'}\cdot tg^5xdx+\int_{0}^\frac{\pi}{3}(tgx)^{'}\cdot tg^9xdx=\\\\=\dfrac{tg^6x}6\Bigg{|}_0^{\frac{\pi}{3}}+\dfrac{tg^{10}x}{10}\Bigg{|}_0^{\frac{\pi}{3}}=\dfrac{1}6\left[tg^6\left(\frac{\pi}{3}\right)-tg^60\right]+\dfrac{1}{10}\left[tg^{10}\left(\frac{\pi}{3}\right)-tg^{10}0\right]=\\\\=\dfrac{1}6\left[(\sqrt3)^6-0^6\right]+\dfrac{1}{10}\left[(\sqrt3)^{10}-0^{10}\right]=\dfrac{3^3}6+\dfrac{3^5}{10}=\dfrac{3^2}2+\dfrac{3^5}{10}=\dfrac{144}{5}.[/tex]
Răspunsul corect este deci c.
Green eyes.
[tex]I = \int_0^{\frac{\pi}{3}}(\tan^5x+\tan^7x+\tan^9x+\tan^{11}x)\,dx \\ \\ \tan x = t \Rightarrow \dfrac{1}{\cos^2 x} \, dx = dt\\ \\ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(\tan^5x(1+\tan^2 x)+\tan^9 x(1+\tan^2 x))\dx\\ \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\Big(\tan^5x\Big(\dfrac{1}{\cos^2 x}-\tan^2 x+\tan ^2 x\Big) + \tan^9x\Big(\dfrac{1}{\cos^2 x}-\tan^2 x+\tan ^2 x\Big)\Big)\, dx \\ = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\Big(\tan^5 x \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}+\tan^9 x \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\Big)\, dx[/tex]
[tex]= \int_0^{\frac{\pi}{3}}\Big(\tan^9 x+\tan^ 5 x\Big)\cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\, dx \\ \\ x = 0 \Rightarrow t = 0\\ x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \sqrt 3 \\ \\ I = \int_{0}^{\sqrt 3}(t^9+t^5)\, dt = \Big(\dfrac{t^{10}}{10}+\dfrac{t^6}{6}\Big)\Big|_{0}^{\sqrt 3} = \dfrac{\sqrt 3^{10}}{10}+\dfrac{\sqrt 3^6}{6} = \dfrac{3^5}{10}+\dfrac{3^3}{6}[/tex]
M-am folosit de identitatea:
[tex]\boxed{\dfrac{1}{\cos^2 x}-\tan^2 x = 1}[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!