Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Daca F este o primitiva a lui f atunci F'(x)=f(x) . De la punctul b) aflam ca F(x) are forma F(x)=(2x+1)e^x + C , dar in cazul de fata nu mai avem nevoie de acel "C" caci oricum se va simplifica , deci putem considera ca F(x)= (2x+1)e^x .
Toata schema era sa faci shimbarea de variabila F(x)=t , de unde f(x)dx=dt.
Mai depate obtii ca :
[tex]\displaystyle\int_{0}^1F^2(x)\cdot f(x)dx=\int_{F(0)}^{F(1)} t^2dt=\int_1^{3e}t^2dt=\dfrac{t^3}{3}|_1^{3e} = \dfrac{(3e)^3}{3}-\dfrac{1}{3}=\\\dfrac{27e^3}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{27e^3-1}{3},c.c.t.d.[/tex]
