Putem incepe prin trecerea lui 1 in cealata parte a egalului.
[tex]x + {x}^{2} + {x}^{3} + ... + {x}^{2009} = - 1[/tex]
Formula se afla prin artificiu de calcul:
Notam cu s suma la modul general
[tex]s = x + {x}^{2} + {x}^{3} + ... + {x}^{n} [/tex]
Inmultim totul cu x
[tex]x \times s = {x}^{2} + {x}^{3} + ... + {x}^{n} + {x}^{(n + 1)} [/tex]
Scazand cele 2 relatii obtinem:
[tex](1 - x) \times s = x - {x}^{(n + 1)} [/tex]
Impartim totul la 1-x si obtinem:
[tex]s = \frac{x(1 - {x}^{n}) }{1 - x} [/tex]
Asadar, avem urmatoarea expresie:
[tex] \frac{x(1 - {x}^{2009}) }{1 - x} = - 1 \\ \frac{x - {x}^{2010} }{1 - x} = - 1[/tex]
Inmultim totul cu 1-x
[tex]x - {x}^{2010} = x - 1 \\ - {x}^{2010} = - 1 \\ {x}^{2010} = 1 = >x1 = 1 \: \: x2 = - 1[/tex]
Uitandu-ne la fractia initiala, observam ca numitorul este 1 - x, iar daca luam x = 1, numitorul devine 0, ceea ce este imposibil, deci eliminam radacina falsa
Raspuns: x = -1
