Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{4(2-\sqrt{2}) \ cm}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Generatoarea G este ipotenuza triunghiului dreptunghic format de înălțimea H și raza bazei R ca laturi. Folosim teorema lui Pitagora pentru a calcula generatoarea:
[tex]\boldsymbol{H^{2} + R^{2} = G^{2} } \Rightarrow G = \sqrt{8^2+6^2} = \sqrt{100} = 10 \ cm\\[/tex]
Aria laterală a conului este:
[tex]\boldsymbol{\mathcal{A}_{\ell} = \pi R G } = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60 \pi \ cm^2\\[/tex]
Corpurile formate prin secționare sunt conul mic și trunchiul de con. Ariile lor fiind egale, rezultă că aria conului mic este egală cu jumătate din aria conului (mare). Aria laterală a conului mic este:
[tex]\boldsymbol{\mathcal{A}_{\ell} = \pi r g} \Rightarrow \pi r g = \dfrac{1}{2} \cdot 60 \pi \Rightarrow rg = 30 \ \ \ \ (1)\\[/tex]
Din asemănarea triunghiurilor dreptunghice formate de înălțimi cu razele bazelor:
[tex]\dfrac{h}{H} = \dfrac{r}{R} = \dfrac{g}{G} \Rightarrow \dfrac{h}{8} = \dfrac{r}{6} = \dfrac{g}{10} \Rightarrow r = \dfrac{3g}{5} \ \ \ \ (2)\\[/tex]
Înlocuim cu (2) în (1):
[tex]\dfrac{3g}{5} \cdot g = 30 \Rightarrow g^2 = 50 \Rightarrow g = 5\sqrt{2} \ cm[/tex]
Ne reîntoarcem la raport:
[tex]\dfrac{h}{8} = \dfrac{5\sqrt{2} }{10} \Rightarrow h = 4\sqrt{2} \ cm[/tex]
Determinăm înălțimea solicitată:
[tex]H - h = 8 - 4\sqrt{2} = \bf 4(2 - \sqrt{2} ) \ cm[/tex]
