Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{1 \ 055 \ 953 \ 664}}[/tex]
Rezolvare:
Numărul submulțimilor care au produsul divizibil cu 30
[tex]2^{30} - (2^{15} + 2^{20} + 2^{24} - 2^{10} - 2^{12} - 2^{16} + 2^8)\\[/tex]
Explicație pas cu pas:
Pentru a determina câte dintre submulțimile mulțimii {1, 2, ..., 30} au produsul elementelor divizibil cu 30, trebuie să analizăm condițiile necesare pentru ca produsul elementelor unei submulțimi să fie divizibil cu 30. Numărul 30 poate fi descompus în factori primi astfel:
[tex]30 = 2 \cdot 3 \cdot 5[/tex]
Deci, pentru ca produsul elementelor unei submulțimi să fie divizibil cu 30, aceasta trebuie să conțină cel puțin un factor de 2, unul de 3 și unul de 5.
Numărul total de submulțimi ale mulțimii {1, 2, ..., 30} este 2³⁰
Submulțimile care nu conțin unul dintre factorii 2, 3, 5:
- nu conțin factorul 2 ⇒ excludem numerele pare (sunt 15 astfel de numere): {2, 4, 6, ..., 30}
[tex]\{1,3,5,...,27,29\}[/tex]
30 - 15 = 15 elemente ⇒ 2¹⁵ submulțimi
- nu conțin factorul 3 ⇒ excludem multipli de 3 (sunt 10 astfel de numere): {3, 6, 9, ..., 30}
[tex]\{1,2,4,5,7...,26,28,29\}[/tex]
30 - 10 = 20 elemente ⇒ 2²⁰ submulțimi
- nu conțin factorul 5 ⇒ excludem multipli de 5 (sunt 6 astfel de numere: 5, 10, 15, ..., 30)
[tex]\{1,2,3,4,6,...,24,26,27,28,29\}[/tex]
30 - 6 = 24 elemente ⇒ 2²⁴ submulțimi
- Submulțimile care nu conțin nici multipli de 2, nici multipli de 3: 2¹⁰
[tex]\{1,5,7,11,13,17,19,23,25,29\}[/tex]
- Submulțimile care nu conțin nici multipli de 2, nici multipli de 5: 2¹²
[tex]\{1,3,7,9,11,13,17,19,21,23,27,29\}[/tex]
- Submulțimile care nu conțin nici multipli de 3, nici multipli de 5: 2¹⁶
[tex]\{1,2,4,7,8,11,13,14,16,17,19,22,23,26,28,29\}[/tex]
- Submulțimile care nu conțin nici multipli de 2, nici multipli de 3, nici multipli de 5: 2⁸
[tex]\{1,7,11,13,17,19,23,29\}[/tex]
Numărul submulțimilor care au produsul divizibil cu 30
[tex]2^{30} - (2^{15} + 2^{20} + 2^{24} - 2^{10} - 2^{12} - 2^{16} + 2^8)\\[/tex]
Calculăm:
[tex]1073741824-17788160 = 1055953664[/tex]
Așadar, numărul submulțimilor care au produsul elementelor divizibil cu 30 este: 1 055 953 664
Formula:
[tex]\boldsymbol{ \red{A \cup B \cup C = A + B + C - (A \cap B + B \cap C + C \cap A) + A \cap B \cap C}} \\[/tex]
https://brainly.ro/tema/394390
