Răspuns:
[tex]10000[/tex]
Explicație pas cu pas:
Fie [tex]S_1[/tex] prima paranteză și [tex]S_2[/tex] a doua , rescriem expresia:
[tex]2*(1+2+3+4+5+.....+100)(\frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4} +......+ \frac{1}{100*101} )=[/tex]
[tex]2*S_1*S_2[/tex]
Prima sumă este suma primelor n numere naturale :
[tex]S_1=(1+2+3+4+5+.....+100)=\\\\S_1=\sum_{n=1}^{100} n}= \frac{n(n+1)}{2}\\\\S_1=\frac{100*101}{2}=50*101\\\\S_1=\bf5050\\[/tex]
La cea de-a doua sumă rescriem fiecare termen astfel :
[tex]S_2=(\frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4} +......+ \frac{1}{100*101} )\\\\S_2=[(\frac{1}{1} - \frac{1}{2} ) +(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + .....+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})+ (\frac{1}{100}-\frac{1}{101} )]\\\\S_2=(\frac{1}{1}-\frac{1}{101})=(\frac{101}{101}-\frac{1}{101})\\\\S_2=\bf\frac{100}{101}[/tex]
Rezultatul va fi :
[tex]2*S_1*S_2=\frac{2*5.050*100}{101}=2*50*100 = 100 * 100 = \bf10000[/tex]
