👤

În planul xOy se consideră punctele A(1, 8), B(b, -4), C(c, -4), unde b, c ∈ R, b ≠ c. Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, atunci b+c este:

Răspuns :

Răspuns:

[tex]\boldsymbol{ \red{|b|+|c| = 14}}[/tex]

Explicație pas cu pas:

A(1, 8), B(b, -4), C(c, -4), unde b, c ∈ R, b ≠ c

O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC ⇒ O(0, 0)

[tex](x_A-x_O)^2 + (y_A-y_O)^2 = (x_B - x_O)^2 + (y_B-y_O)^2 = (x_C-x_O)^2 + (y_C-y_O)^2 = R^2\\[/tex]

[tex](1 - 0)^2 + (8 - 0)^2 = (b - 0)^2 + (4 - 0)^2 = (c - 0)^2 + (4 - 0)^2\\[/tex]

[tex]\begin{cases}b^2 + 16 = 1 + 64 \Rightarrow b^2 = 49 \Rightarrow |b| = 7 \\ c^2 + 16 = 1 + 64 \Rightarrow c^2 = 49 \Rightarrow |c| = 7 \end{cases}[/tex]

[tex]\Rightarrow \bf |b| + |c| = 14[/tex]

[tex]\it R=OA=OB=OC \Rightarrow OA^2=OB^2=OC^2 \Rightarrow(0-1)^2+(0-8)^2=\\ \\ \\ =(0-b)^2+(0+4)^2=(0-c)^2+(0+4)^2 \Rightarrow1+64=b^2+16=c^2+16\\ \\ \\ b^2+16=65\bigg|_{-16} \ \Rightarrow b^2=49 \Rightarrow b=\pm7\\ \\ \\ c^2+16=65\bigg|_{-16} \ \Rightarrow c^2=49 \Rightarrow c=\pm7\\ \\ \\ b\ne c \Rightarrow b+c=0[/tex]