Răspuns:
Pentru a demonstra că \( \triangle BDM \cong \triangle CEM \), putem folosi proprietățile triunghiurilor și asemănările. Vom folosi notațiile și faptele despre triunghiurile date:
1. \(M\) este mijlocul laturii \(BC\), deci \(BM = MC\).
2. Construim segmentele \(BD \parallel AM\) și \(CE \parallel AM\), ceea ce înseamnă că \( \angle DBA = \angle BAM \) și \( \angle ECA = \angle CAM \) din proprietățile laturilor paralele.
3. Din punctul 2, avem că \(\triangle ABD \sim \triangle AMB\) și \(\triangle ACE \sim \triangle AMC\) deoarece au un unghi corespunzător egal (datorită paralelismului laturilor).
Acum, să demonstrăm că \( \triangle BDM \cong \triangle CEM \):
- Observăm că \( \angle BMD = \angle CME \), deoarece \(BD \parallel AM\) și \(CE \parallel AM\) duc la unghiurile corespunzătoare egale (conform proprietății unghiurilor alternante-interne).
- Știm că \(BM = MC\) (mijlocul lui \(BC\)).
- De asemenea, \(BD = CE\), deoarece acestea sunt secțiuni de drepte paralele din aceeași transversală (\(AM\)).
Astfel, avem:
- Latura \(BD\) este egală cu latura \(CE\) (din construcția paralelismului).
- Latura \(BM\) este egală cu \(MC\) (deoarece \(M\) este mijlocul \(BC\)).
- Unghiurile \( \angle BMD \) și \( \angle CME \) sunt congruente (din construcția paralelismului).
Prin urmare, după criteriul LAL (Latură-Anglă-Latură), \( \triangle BDM \cong \triangle CEM \), ceea ce implică \( \angle BDM = \angle CEM \), \( BD = CE \), și \( BM = MC \).
În concluzie, am demonstrat că \( \triangle BDM \cong \triangle CEM \), iar în geometria euclidiană, triunghiurile congruente au aceleași măsuri de unghiuri, așadar \( \angle ABM = \angle ACM \) (deoarece \(M\) este mijlocul lui \(BC\)).
