Răspuns:
Din T. Thales
DE⊥MN, MQ⊥MN ⇒ DE║MQ ⇒ ΔNDE ~ ΔNQM
[tex]\dfrac{ND}{NQ} = \dfrac{NE}{MN} \ \ \ (1)[/tex]
DF⊥NP, PQ⊥NP ⇒ DF║PQ ⇒ ΔNDF ~ ΔNQP
[tex]\dfrac{ND}{NQ} = \dfrac{NF}{NP} \ \ \ (2)[/tex]
[tex]Din \ (1) \ si \ (2) \Rightarrow \dfrac{NE}{MN} = \dfrac{NF}{NP} \ \ \ (3)\\[/tex]
DE║MQ, MQ║NP ⇒ DE║NP (tranzitivitatea) ⇒ DE║NF (4)
DF║PQ, PQ║MN ⇒ DF║MN ⇒ DF║DE (5)
Din (4), (5), DE≡DF (ipoteză), ∡MNP = 90° ⇒ NEDF pătrat ⇒ NE≡NF (6)
[tex]Din \ (3) \ si \ (6) \Rightarrow MN \equiv NP\\[/tex]
⇒ MNPQ este pătrat
✍ Reținem:
Teorema lui Thales: În orice triunghi, o paralelă construită la o latură a triunghiului împarte celelalte două laturi, sau prelungirile lor, în segmente proporționale.
