Explicație pas cu pas:
Pentru a demonstra că
3
1
<a<
3
4
, unde a=
13
1
+
15
1
+
17
1
+...+
61
1
+
63
1
, vom analiza suma în doi pași.
Pasul 1: Toți termenii sunt pozitivi
Observăm întâi că toți termenii din sumă sunt pozitivi deoarece adunăm fracții a căror atât numărătorul cât și numitorul sunt pozitive. Deoarece adunarea termenilor pozitivi crește suma, știm că a>
63
1
.
Pasul 2: Regrupăm termenii pentru o comparație mai ușoară
Putem să rescriem suma ca a=(
13
1
+
17
1
)+(
15
1
+
61
1
)+(
17
1
+
59
1
)+...+
63
1
.
Observând că
13
1
>
15
1
>
17
1
și așa mai departe, fiecare dintre termeni din noua sumă este mai mare decât
32
1
. Deoarece adunăm 10 termeni care sunt fiecare mai mari decât
32
1
, știm că a>10⋅
32
1
=
16
5
.
Concluzie
În cele din urmă, vedem că
16
5
<
3
1
<a<
3
4
. Prin urmare, am demonstrat că suma a se află între
3
1
și
3
4
.
