Răspuns :
1. a) Forma canonică a unei funcții de gradul al doilea este \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), unde \( (h, k) \) este vârful parabolei. Pentru funcția dată \( f(x) = 2x^2 - x - 3 \), putem folosi completarea pătratului pentru a o aduce la forma canonică:
\[ f(x) = 2(x^2 - \frac{1}{2}x) - 3 \]
\[ f(x) = 2(x^2 - \frac{1}{2}x + (\frac{-1}{4})^2) - 2 \cdot (\frac{-1}{4})^2 - 3 \]
\[ f(x) = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} - 3 \]
\[ f(x) = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{8} \]
Deci, forma canonică a funcției este \( f(x) = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{8} \).
b) Punctul de extrem pentru o parabolă de forma \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) este vârful parabolei, în cazul nostru, punctul \( (h, k) \). Deci, punctul de extrem pentru funcția dată este \( (\frac{1}{4}, -\frac{25}{8}) \).
2. Ecuația al cărei rădăcini sunt \( x_1 = 1 \) și \( x_2 = -6 \) poate fi scrisă sub forma:
\[ (x - x_1)(x - x_2) = 0 \]
\[ (x - 1)(x + 6) = 0 \]
\[ x^2 + 6x - x - 6 = 0 \]
\[ x^2 + 5x - 6 = 0 \]
3. Pentru a reprezenta grafic funcția \( f(x) = -x^2 - 2x + 3 \), putem începe prin a găsi vârful parabolei. Vârful unei parabole de forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \) este dat de \( x = -\frac{b}{2a} \). În cazul nostru, avem \( a = -1 \) și \( b = -2 \), deci \( x = -\frac{-2}{2(-1)} = 1 \).
Pentru a găsi ordinata vârfului, înlocuim \( x = 1 \) în funcția \( f(x) \):
\[ f(1) = -(1)^2 - 2(1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0 \]
Deci, vârful parabolei este \( (1, 0) \).
Acum, putem trasa graficul funcției \( f(x) = -x^2 - 2x + 3 \), știind că este o parabolă cu concavitatea în jos și cu vârful în punctul \( (1, 0) \).
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!