Pentru a determina valorile lui ( m ) în funcție de condițiile date, putem folosi criteriile din teoria ecuațiilor de gradul al doilea:a) Pentru ca ecuația să aibă soluții reale și diferite, discriminantul trebuie să fie strict pozitiv. Discriminantul ( \Delta ) este dat de ( \Delta = b^2 - 4ac ), unde ( a = 1 ), ( b = -2m ) și ( c = m - 3 ). Deci, avem:[ \Delta > 0 \Rightarrow (-2m)^2 - 4(1)(m - 3) > 0 \Rightarrow 4m^2 - 4m + 12 > 0 ][ m^2 - m + 3 > 0 ]Această inegalitate nu are soluții reale, deci nu există restricții pentru ( m ).b) Pentru ca ecuația să aibă soluții reale și egale, discriminantul trebuie să fie zero. Deci avem:[ \Delta = 0 \Rightarrow (-2m)^2 - 4(1)(m - 3) = 0 ][ 4m^2 - 4m + 12 = 0 ][ m^2 - m + 3 = 0 ]Această ecuație nu are soluții reale, deci nu există restricții pentru ( m ).c) Pentru ca soluțiile să fie pozitive, ambele soluții trebuie să fie mai mari decât zero. Dacă ( x_1 ) și ( x_2 ) sunt soluțiile ecuației, avem:[ x_1 > 0 \quad \text{și} \quad x_2 > 0 ]Folosind relațiile dintre coeficienții și soluțiile ecuației de gradul al doilea, ( x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} ) și ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} ), obținem:[ \frac{-(-2m)}{1} > 0 \quad \text{și} \quad \frac{m - 3}{1} > 0 ][ 2m > 0 \quad \text{și} \quad m - 3 > 0 ][ m > 0 \quad \text{și} \quad m > 3 ]Deci soluția pentru acest caz este ( m > 3 ).d) Pentru ca soluțiile să fie negative, ambele soluții trebuie să fie mai mici decât zero. Deci avem:[ x_1 < 0 \quad \text{și} \quad x_2 < 0 ]Folosind relațiile dintre coeficienții și soluțiile ecuației de gradul al doilea, obținem:[ \frac{-(-2m)}{1} < 0 \quad \text{și} \quad \frac{m - 3}{1} > 0 ][ 2m < 0 \quad \text{și} \quad m - 3 > 0 ][ m < 0 \quad \text{și} \quad m > 3 ]Această inegalitate nu are soluții reale, deci nu există restricții pentru ( m ).e) Pentru ca soluțiile să fie de semne contrare, una dintre soluții trebuie să fie pozitivă și cealaltă negativă. Deci avem:[ x_1 \cdot x_2 < 0 ]Folosind relația dintre coeficienții și soluțiile ecuației de gradul al doilea, obținem:[ \frac{m - 3}{1} < 0 ][ m - 3 < 0 ][ m < 3 ]Deci soluția pentru acest caz este ( m < 3 ).
