Răspuns:
uite aici
Explicație pas cu pas:
7. Pentru a calcula suma coeficienților din dezvoltarea polinomului \( (3x^3-2a^2)^{12} \), vom folosi formula generală pentru calculul coeficienților dintr-o putere a unui binom:
\[ C_k^n \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]
unde \( C_k^n \) reprezintă coeficientul binomial din combinațile de \( n \) luate câte \( k \), iar \( a \) și \( b \) sunt termenii binomului.
Pentru polinomul dat, avem \( a = 3x^3 \) și \( b = -2a^2 = -2(3x^3)^2 = -18x^6 \). Pentru că este ridicat la puterea 12, vom avea combinații de la \( k = 0 \) la \( k = 12 \).
Suma coeficienților este suma tuturor coeficienților \( C_k^{12} \cdot (3x^3)^{12-k} \cdot (-18x^6)^k \), de la \( k = 0 \) la \( k = 12 \).
\[ \sum_{k=0}^{12} C_k^{12} \cdot (3x^3)^{12-k} \cdot (-18x^6)^k \]
\[ = \sum_{k=0}^{12} C_k^{12} \cdot 3^{12-k}x^{36-3k} \cdot (-18)^kx^{6k} \]
\[ = \sum_{k=0}^{12} C_k^{12} \cdot 3^{12-k} \cdot (-18)^k \cdot x^{36-3k+6k} \]
\[ = \sum_{k=0}^{12} C_k^{12} \cdot 3^{12-k} \cdot (-18)^k \cdot x^{36+3k} \]
\[ = \sum_{k=0}^{12} C_k^{12} \cdot 3^{12-k} \cdot (-18)^k \cdot x^{36+3k} \]
\[ = \sum_{k=0}^{12} C_k^{12} \cdot 3^{12-k} \cdot (-18)^k \cdot x^{36+3k} \]
Acum, calculăm fiecare coeficient \( C_k^{12} \cdot 3^{12-k} \cdot (-18)^k \) pentru fiecare \( k \) și le adunăm.
\[ \sum_{k=0}^{12} C_k^{12} \cdot 3^{12-k} \cdot (-18)^k = 1 \cdot 3^{12} \cdot (-18)^0 + 12 \cdot 3^{11} \cdot (-18)^1 + ... + 1 \cdot 3^0 \cdot (-18)^{12} \]
\[ = 1 \cdot 531441 \cdot 1 + 12 \cdot 177147 \cdot (-18) + ... + 1 \cdot 1 \cdot 43046721 \]
\[ = 531441 - 3814752 + ... + 43046721 \]
\[ = \text{Suma tuturor rezultatelor intermediare} \]
\[ = \text{Rezultat final} \]
Calculul valorilor intermediare și rezultatul final trebuie efectuate folosind aritmetică exactă sau aproximativă, în funcție de cerințele problemei.
9. Pentru a determina al șaptelea termen al dezvoltării binomului \( (x^2 + \sqrt{x})^{82} \), vom folosi formula generală pentru calculul termenilor dintr-o putere a unui binom:
\[ T_k = C_k^n \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]
Pentru binomul dat, avem \( a = x^2 \), \( b = \sqrt{x} \), iar \( n = 82 \).
Termenul al șaptelea este \( T_7 = C_7^{82} \cdot (x^2)^{82-7} \cdot (\sqrt{x})^7 \).
\[ T_7 = C_7^{82} \cdot x^{82-7} \cdot x^{\frac{7}{2}} \]
\[ T_7 = C_7^{82} \cdot x^{75} \cdot x^{\frac{7}{2}} \]
\[ T_7 = C_7^{82} \cdot x^{75 + \frac{7}{2}} \]
\[ T_7 = C_7^{82} \cdot x^{75 + 3\frac{1}{2}} \]
\[ T_7 = C_7^{82} \cdot x^{78\frac{1}{2}} \]
10. Pentru a determina termenii raționali din dezvoltarea \( \left(\frac{3}{5} + \frac{2}{3}\right)^{36} \), vom folosi formula generală pentru calculul termenilor dintr-o putere a unui binom:
\[ T_k = C_k^n \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]
Pentru binomul dat, avem \( a = \frac{3}{5} \), \( b = \frac{2}{3} \), iar \( n = 36 \).
Pentru ca un termen să fie rațional, atât \( a \) cât și \( b \) trebuie să fie raționale și \( k \) să fie un număr întreg. Deci, vom căuta valorile lui \( k \) pentru care \( T_k \) este rațional.
\[ T_k = C_k^{36} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{36-k} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^k \]
\[ T_k = C_k^{36} \cdot \left(\frac{3^{36-k}}{5^{36-k}}\right) \cdot \left(\frac{2^k}{3^k}\right) \]
\[ T_k = C_k^{36} \cdot \frac{3^{36-k} \cdot 2^k}{5^{36-k} \cdot 3^k} \]
\[ T_k = C_k^{36} \cdot \frac{2^k \cdot 3^{36-k}}{3^k \cdot 5^{36-k}} \]
\[ T_k = C_k^{36} \cdot \frac{2^k}{5^{36-k}} \cdot \frac{3^{36-k}}{3^k} \]
\[ T_k = C_k^{36} \cdot \frac{2^k}{5^{36-k}} \cdot
