Pentru a demonstra că trapezul PNRM este isoscel, vom arăta că laturile PN și RM sunt egale.
Având în vedere că PN || AB și RM || AC (deoarece PNRM este trapez), putem folosi proprietatea laturilor paralele din triunghiuri.
Din ABC, avem că:
\[ \frac{PN}{AP} = \frac{BN}{AB} \] (deoarece PN || AB)
\[ \frac{RM}{MR} = \frac{CR}{AC} \] (deoarece RM || AC)
De asemenea, deoarece AB = AC într-un triunghi isoscel, avem că BN = CN. Din aceste relații, putem deduce că PN = MR, deci laturile opuse ale trapezului sunt egale, ceea ce înseamnă că trapezul PNRM este isoscel.
Pentru a demonstra că PTQS este un paralelogram, vom arăta că laturile opuse sunt paralele și că sunt egale.
Având în vedere că PQ || BC (din enunț) și TS || AB (deoarece M este mijlocul lui PQ și TS, deci TS este paralel cu AB), putem spune că PQRS este un patrulater cu laturile opuse paralele.
Acum, pentru a arăta că laturile opuse sunt egale, putem folosi proprietatea mijloacelor în triunghiuri. Având în vedere că TS este paralel cu AB și M este mijlocul lui PQ și TS, putem spune că:
\[ \frac{TP}{PT} = \frac{MP}{MS} \]
\[ \frac{TQ}{QS} = \frac{MQ}{MS} \]
Și deoarece TP = PT și TQ = QS, putem deduce că MP = MQ, ceea ce înseamnă că laturile opuse ale patrulaterului sunt egale. Prin urmare, patrulaterul este un paralelogram.
