Răspuns :
. Folosind definiția factorialului și proprietățile acestuia, putem reduce expresiile la forme mai simple.
1. \( (x-5)! \) poate fi scris ca \( (x-5)(x-6)(x-7)...(2)(1) \).
2. \( (x-2-5)! \) poate fi scris ca \( (x-7)! \).
3. \( x! \) poate fi scris ca \( x(x-1)(x-2)...(2)(1) \).
Înlocuim acum aceste expresii în inegalitatea inițială:
\[ 6(x-5)! \times \frac{x-2}{(x-2-5)!} \leq x! \]
\[ 6(x-5)(x-6)(x-7)...(2)(1) \times \frac{x-2}{(x-7)!} \leq x(x-1)(x-2)...(2)(1) \]
Observăm că multe dintre termeni se anulează între ele. De exemplu, \( (x-2) \) din numărător și din \( x(x-1)(x-2) \) din numitor. Așadar, acești termeni pot fi simplificați. De asemenea, se anulează majoritatea termenilor din \( (x-5)! \) și \( (x-7)! \). În final, inegalitatea devine:
\[ 6(x-5) \leq x(x-1) \]
Putem expanda această inegalitate și rezolva ecuația pentru a găsi intervalul de valori al lui \( x \). După aceea, vom verifica care interval satisface inegalitatea inițială.
\[ 6x - 30 \leq x^2 - x \]
Reordonând termenii:
\[ 0 \leq x^2 - 7x + 30 \]
Acum putem rezolva ecuația pentru a găsi intervalele de valori ale lui \( x \). Însă, pentru a obține soluția inegalității inițiale, este nevoie să verificăm dacă această soluție este inclusă în intervalul inițial.
1. \( (x-5)! \) poate fi scris ca \( (x-5)(x-6)(x-7)...(2)(1) \).
2. \( (x-2-5)! \) poate fi scris ca \( (x-7)! \).
3. \( x! \) poate fi scris ca \( x(x-1)(x-2)...(2)(1) \).
Înlocuim acum aceste expresii în inegalitatea inițială:
\[ 6(x-5)! \times \frac{x-2}{(x-2-5)!} \leq x! \]
\[ 6(x-5)(x-6)(x-7)...(2)(1) \times \frac{x-2}{(x-7)!} \leq x(x-1)(x-2)...(2)(1) \]
Observăm că multe dintre termeni se anulează între ele. De exemplu, \( (x-2) \) din numărător și din \( x(x-1)(x-2) \) din numitor. Așadar, acești termeni pot fi simplificați. De asemenea, se anulează majoritatea termenilor din \( (x-5)! \) și \( (x-7)! \). În final, inegalitatea devine:
\[ 6(x-5) \leq x(x-1) \]
Putem expanda această inegalitate și rezolva ecuația pentru a găsi intervalul de valori al lui \( x \). După aceea, vom verifica care interval satisface inegalitatea inițială.
\[ 6x - 30 \leq x^2 - x \]
Reordonând termenii:
\[ 0 \leq x^2 - 7x + 30 \]
Acum putem rezolva ecuația pentru a găsi intervalele de valori ale lui \( x \). Însă, pentru a obține soluția inegalității inițiale, este nevoie să verificăm dacă această soluție este inclusă în intervalul inițial.
Răspuns:
Pentru a rezolva această inecuație, vom începe prin a simplifica expresiile factoriale și apoi vom analiza condițiile de valabilitate ale inegalității.
Expresia dată este:
\[ \frac{6 \times (x-5)! \times (x-2)}{(x-2-5)!} \leq x! \]
Putem simplifica factorialele:
\[ (x-5)! = (x-5) \times (x-6) \times \ldots \times 2 \times 1 \]
\[ (x-2)! = (x-2) \times (x-3) \times \ldots \times 2 \times 1 \]
Deci, inegalitatea devine:
\[ \frac{6 \times (x-5) \times (x-4) \times \ldots \times 2 \times 1 \times (x-2)}{(x-7)!} \leq (x-1) \times (x-2) \times \ldots \times 2 \times 1 \]
Putem simplifica:
\[ (x-2) \times (x-3) \times \ldots \times 2 \times 1 \]
Folosind același principiu pentru ambele părți ale inegalității, obținem:
\[ (x-5) \times (x-4) \times \ldots \times 2 \times 1 \times (x-2) \leq (x-1) \times (x-2) \times \ldots \times 2 \times 1 \]
Se observă că multe termeni se anulează, iar inegalitatea simplificată este:
\[ (x-5) \leq (x-1) \]
Pentru a rezolva această inegalitate, putem elimina parantezele și așezăm termenii cu \( x \) pe o parte:
\[ x - 5 \leq x - 1 \]
Scădem \( x \) din ambele părți pentru a izola constanta:
\[ -5 \leq -1 \]
Această inegalitate este adevărată pentru orice valoare reală a lui \( x \), deoarece \( -5 \) este mai mic sau egal cu \( -1 \). Deci, soluția pentru inecuația dată este \( (-\infty, +\infty) \), adică intervalul întreg al numerelor reale.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!