Punctul a)
Expresia A(x) nu are sens când are loc o împărțire la 0. Deci valorile excluse ale lui x sunt când x-2=0, x+1=0 și x=0
Deci x=2, x= -1, x=0
[tex] 2-1+0=1 \implies \tt suma = 1 [/tex]
Punctul b)
Calculam A(x) pentru toate numerele reale x, in afara de -1,0 și 2. (Cele excluse, când A(x) nu e definita).
[tex] A(x) = \left( \dfrac{2}{x-2} -\dfrac{2}{x+1} \right) : \dfrac{2}{x(x+1)(x-2)} \\ A(x)= \dfrac{2(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)} \cdot \dfrac{x(x+1)(x-2)}{2} \\ A(x)= \dfrac{2x+2-2x+4}{1}\cdot \dfrac{x}{2} \\ A(x)= 6\cdot \dfrac{x}{2} \\ A(x)= 3x, \ \forall x\in \mathbb{R} -\{-1,0,2\} [/tex]
Trebuie să arătăm ca:
[tex] x^2+2A(x)+9=x^2 +6x+9 [/tex]
Este pătrat perfect. Vom folosi formula de calcul prescurtat:
[tex] (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 [/tex]
[tex] x^2+6x+9 = x^2 + 2\cdot x \cdot 3 +3^2 \\ = (x+3)^2 = \tt p\breve{a}trat \ perfect, \forall x\in \mathbb{R} -\{-1,0,2\} [/tex]
Punctul c)
[tex] A(x) \cdot 2\sqrt{5} \in \mathbb{Q}, \ x\in \mathbb{Z} \\ \implies 3x\cdot 2\sqrt{5} \in \mathbb{Q} \implies 6x\sqrt{5} \in \mathbb{Q} [/tex]
Dacă [tex] 6x\sqrt{5} \in \mathbb{Q} [/tex]atunci trebuie să dispară [tex] \sqrt{5} [/tex]
Ca să dispară [tex] \sqrt{5} [/tex]trebuie fie ca x sa fie un multiplu de radical din 5, fie ca x sa fie 0.
Dar x e întreg , așa ca x=0
[tex] \tt Da, \ pentru \ x=0 [/tex]
