Pentru a demonstra că \( x \cdot \text{arctg}(x) - \ln(1 + x^2) \geq 0 \), putem folosi derivata și studiul semnului funcției.
Fie \( f(x) = x \cdot \text{arctg}(x) - \ln(1 + x^2) \).
Vom calcula derivata funcției f:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x \cdot \text{arctg}(x) \right) - \frac{d}{dx} \left( \ln(1 + x^2) \right) \]
\[ = \left( 1 \cdot \text{arctg}(x) + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} \right) - \frac{2x}{1 + x^2} \]
\[ = \text{arctg}(x) + \frac{x}{1 + x^2} - \frac{2x}{1 + x^2} \]
\[ = \text{arctg}(x) - \frac{x}{1 + x^2} \]
Pentru a studia semnul lui \( f'(x) \), vom căuta punctele de inflexiune și punctele în care derivata se anulează:
\[ f'(x) = 0 \]
\[ \text{arctg}(x) - \frac{x}{1 + x^2} = 0 \]
\[ \text{arctg}(x) = \frac{x}{1 + x^2} \]
Pentru \( x \geq 0 \), \(\text{arctg}(x)\) este pozitivă și crește, în timp ce \( \frac{x}{1 + x^2} \) este pozitivă și scade. Deci, funcția derivată este pozitivă pentru \( x \geq 0 \).
Pentru \( x < 0 \), \(\text{arctg}(x)\) este negativă și crește, în timp ce \( \frac{x}{1 + x^2} \) este negativă și scade. Deci, funcția derivată este pozitivă pentru \( x < 0 \).
Deci, funcția f este crescătoare pe întregul său domeniu, deci pentru orice \( x \in \mathbb{R} \), \( f(x) \geq f(0) \).
Verificăm valoarea lui f(0):
\[ f(0) = 0 \cdot \text{arctg}(0) - \ln(1 + 0^2) = 0 - \ln(1) = 0 \]
Deci, pentru orice \( x \in \mathbb{R} \), \( f(x) \geq 0 \). Astfel, demonstrația este completă.
