Explicație pas cu pas:
Pentru a demonstra inegalitatea dată, vom folosi teorema lui Rolle și derivata funcției.
Pentru a folosi teorema lui Rolle, vom calcula derivata funcției f(x):
f(x) = 3x^3 - 9x + 5
f'(x) = 9x^2 - 9
Pentru a găsi punctele critice, egalam derivata cu 0 și rezolvăm ecuația:
9x^2 - 9 = 0
9(x^2 - 1) = 0
x^2 - 1 = 0
(x - 1)(x + 1) = 0
x = -1, x = 1
Acum folosim teorema lui Rolle pe intervalele (-∞, -1), (-1, 1) și (1, ∞). Deoarece nu ne interesează punctele de extrem local, putem să facem un simplu test al semnelor pe intervalele definite pentru a vedea cadrul funcției f(x).
Pentru x < -1:
f'(x) < 0 => f descrescătoare
Pentru -1 < x < 1:
f'(x) > 0 => f crescătoare
Pentru x > 1:
f'(x) > 0 => f crescătoare
Acum, putem folosi această informație pentru a verifica inegalitatea dată:
f(2019) + f(2021) <= f(2020) + f(2022)
Calculăm valorile funcției în aceste puncte:
f(2019) = 3(2019)^3 - 9(2019) + 5
f(2020) = 3(2020)^3 - 9(2020) + 5
f(2021) = 3(2021)^3 - 9(2021) + 5
f(2022) = 3(2022)^3 - 9(2022) + 5
Înlocuim valorile și verificăm dacă inegalitatea este adevărată. Astfel, putem demonstra că f(2019) + f(2021) <= f(2020) + f(2022).
