Răspuns:
Pentru a arăta că două mediane ale triunghiului sunt perpendiculare, vom calcula coordonatele vârfurilor triunghiului și apoi vom verifica dacă produsul pantei medianei care unește vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse este -1.
Coordonatele vârfurilor triunghiului sunt:
A(m+1, 1)
B(1-m, 1)
C(1, 3m+1)
Mijloacele laturilor triunghiului sunt:
D = mijlocul lui BC = ( 1-m+1/2, 1+1/2) = ( 2-m/2, 1 )
E = mijlocul lui AC = ( 1+1/2, 3m+1+1/2) = ( 1, 2m+1 )
Calculăm panta medianei AD:
m_AD = 1-1/m+1 - 2-m/2 = 0/2+m/2 = 0
Calculăm panta medianei BE:
m_BE = 1-2m-1/1-m - 1 = -2m/-m = 2
Produsul pantelor medienei AD și BE este:
m_AD * m_BE = 0 * 2 = 0
Deoarece produsul pantelor este 0, cele două mediane AD și BE sunt perpendiculare.
