Punctul a)
Împărțirea la 0 este nedefinită. Astfel, expresia E(x) este nedefinită când are loc o împărțire la 0.
Calculam pentru fiecare împărțire valorile lui x pentru care este egală cu 0.
[tex] x^2-x-2 =0 [/tex]
O să ne folosim de relația de la b) pentru ca oricum o vom demonstra.
[tex] (x-2)(x+1)=0 \implies x=2, x=-1 \\ x+1=0 \implies x=-1 \\ x-2=0 \implies x=2 \\ \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{6}{x-2} =0 \\ \dfrac{x(x-2)+6(x+1)}{(x+1)(x-2)}=0 \\ x(x-2)+6(x+1)=0 \\ x^2-2x+6x+6=0 \\ x^2 +4x+6=0 \\ \Delta = b^2-4ac=16-24=-8<0 \\ \implies x \in \varnothing [/tex]
Acestea sunt valorile excluse, pentru ca dacă înlocuiești unele dintre aceste valori, vei avea o împărțire cu 0 pe undeva, ceea ce am mai spus, este nedefinit.
Deci valorile lui x pentru care E(x) este definită sunt:
[tex] \implies \tt x\in \mathbb{R} -\{-1,2\} [/tex]
Adica toate numerele reale in afara de 2 și -1.
Punctul b)
Desfacem paranteza
[tex] (x-2)(x+1)=x(x+1)-2(x+1) \\ = x^2+x-2x-2 =\tt x^2-x-2 [/tex]
Punctul c)
Respecți ordinea efectuării operațiilor, adică faci prima dată paranteza, și să fi atent să nu te încurci la calcule.
[tex] E(x) =\dfrac{1}{x^2-x-2} :\left( \dfrac{x}{x+1} +\dfrac{6}{x-2} \right) \\ E(x) = \dfrac{1}{(x-2)(x+1)} :\dfrac{x(x-2)+6(x+1)}{(x-2)(x+1)} \\ E(x) = \dfrac{1}{(x-2)(x+1)} \cdot \dfrac{(x-2)(x+1)}{x^2-2x+6x+6} \\ \tt E(x)=\dfrac{1}{x^2 +4x+6 }, \forall x\in \mathbb{R}-\{-1,2\} [/tex]
Punctul d)
Trebuie să rezolvăm ecuația:
[tex] E(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+3)} [/tex]
Calculam domeniul de definiție prima dată. Avem x-1=0 și x+3=0 (valorile excluse) , adică [tex] x\not= 1, x\not=-3 [/tex]
[tex] E(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}, \forall x\in \mathbb{R}-\{-3,\pm1,2\} \\ \dfrac{1}{x^2+4x+6}=\dfrac{1}{(x-1)(x+3)} \\ x^2+4x+6=(x-1)(x+3) \\ x^2 +4x+6=x^2+3x-x-3 \\ 4x+6=2x-3 \\ 2x=-9 \\ \tt x=-\dfrac{9}{2} [/tex]
