Răspuns:
Pentru a rezolva aceste probleme, putem folosi conceptele de energie mecanică și cinematică. Presupunem că în poziția inițială, cartea are doar energie potențială gravitațională, iar la atingerea colului, toată energia potențială gravitațională s-a transformat în energie cinetică.
a) Energia mecanică inițială a cărții este suma energiei potențiale și a celei cinetice:
\[E_{\text{inițială}} = E_p + E_k\]
Deoarece cartea este lăsată să cadă liber, în poziția inițială, energia cinetică este zero:
\[E_{\text{inițială}} = E_p = mgh\]
\[E_{\text{inițială}} = 5 \, \text{kg} \times 10 \, \text{N/kg} \times 2 \, \text{m} = 100 \, \text{J}\]
b) La jumătatea înălțimii față de sol, energia mecanică a cărții este formată doar din energia cinetică. Putem folosi principiul conservării energiei mecanice, care afirmă că energia totală (potențială + cinetică) este constantă în absența forțelor neconservative:
\[E_{\text{inițială}} = E_{\text{finală}}\]
\[mgh = \frac{1}{2}mv^2\]
Unde:
- \(m\) = masa cărții (5 kg)
- \(g\) = accelerația gravitațională (10 N/kg)
- \(h\) = înălțimea inițială (2 m)
- \(v\) = viteza cărții
Rezolvăm pentru \(v\) la jumătatea înălțimii:
\[100 \, \text{J} = \frac{1}{2} \times 5 \, \text{kg} \times v^2\]
\[v^2 = \frac{100 \, \text{J} \times 2}{5 \, \text{kg}}\]
\[v^2 = 40 \, \text{m}^2/\text{s}^2\]
\[v \approx 6.32 \, \text{m/s}\]
c) La atingerea colului, întreaga energie potențială gravitațională s-a transformat în energie cinetică, deci putem folosi același principiu ca la punctul b):
\[mgh = \frac{1}{2}mv^2\]
\[5 \, \text{kg} \times 10 \, \text{N/kg} \times 2 \, \text{m} = \frac{1}{2} \times 5 \, \text{kg} \times v^2\]
Rezolvăm pentru \(v\) la col:
\[v^2 = 4 \times 10\]
\[v = \sqrt{40} \, \text{m/s}\]
\[v \approx 6.32 \, \text{m/s}\]
Deci, viteza cărții atunci când ajunge la jumătatea înălțimii față de sol este aproximativ \(6.32 \, \text{m/s}\), iar viteza cărții la atingerea colului este, de asemenea, aproximativ \(6.32 \, \text{m/s}\).
