Punctul a)
Construim EF⊥AB si CH⊥AB.
AF=BH iar FH=CE=8 cm
[tex] AF+FH+HB=20 \\ AF+8+AF=20 \\ 2AF=12 \\ AF=6 \ cm [/tex]
Vom calcula AE din triunghiul AEF folosind funcția cosinus.
[tex] \cos \angle A = \dfrac{AF}{AE} \\ \cos 30^{\circ} = \dfrac{6}{AE} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} =\dfrac{6}{AE} \\ AE=\dfrac{2\cdot 6}{\sqrt{3}} \\ AE=\dfrac{12\sqrt{3}}{3} \\ \tt AE = 4\sqrt{3} \ cm [/tex]
Punctul b)
Aria poligonului ABCDE este formată din aria lui ABCE și DCE. Deci aplicăm formulele ariilor trapezului și triunghiului echilateral.
[tex] A_{ABCDE} = A_{ABCE} + A_{DCE} \\ A_{ABCDE} = \dfrac{(AB+CE)\cdot EF}{2} +\dfrac{CE^2 \sqrt{3}}{4} \\ A_{ABCDE} = \dfrac{(20+8)\cdot 2\sqrt{3}}{2} +\dfrac{64 \sqrt{3}}{4} \\ A_{ABCDE} = 28\sqrt{3} + 16\sqrt{3} \\ \tt A_{ABCDE} = 44\sqrt{3} \ cm^2 [/tex]
Punctul c)
Dacă ne folosim de proprietatea unghiurilor în jurul unui punct, putem observa ca ∢AED= ∢BCD= 150°
[tex] \begin{cases} AE=BC \\ \angle AED= \angle BCD \\ DE=DC \end{cases} \stackrel{L.U.L}\implies \Delta AED \equiv \Delta BCD [/tex]
Înseamnă ca aria lor este aceiași.
Putem calcula aria lui ABD cu formula ariei , însă, înălțimea va fi înălțimea lui EDC+ EF
Înălțimea lui DEC = [tex] \tfrac{l\sqrt{3}}{2}= \tfrac{8\sqrt{3}}{2} =4\sqrt{3} \ cm [/tex]
Deci înălțimea lui ABD este 6rad3 cm.
Deci dacă scădem din toată aria, pe ABCDE atunci vom rămâne cu cele două arii, care sunt egale și care ni se cere.
[tex] A_{ABD} - A_{ABCDE} = 2A_{DAE} \\ \dfrac{6\sqrt{3} \cdot AB}{2} -44\sqrt{3} = 2A_{DAE} \\ 3\sqrt{3} \cdot 20 -44\sqrt{3} = 2A_{DAE} \\ 60\sqrt{3} -44\sqrt{3} =2A_{DAE} \\ 2A_{DAE} = 16\sqrt{3} \\ A_{DAE} = 8\sqrt{3} \ cm^2 [/tex]
Trebuie să arătăm ca această arie este mai mică decât o arie a unui pătrat cu latura 4 cm
Acel pătrat va avea aria l•l=4•4=16 cm^2
Deci trebuie să arătăm ca:
[tex] 8\sqrt{3} < 16 [/tex]
Păi dacă împărțim la 8 și ridicăm la pătrat ambele părți, uita ce obținem:
[tex] \sqrt{3} <2 \\ 3 <4 \implies adevarat [/tex]
