Răspuns:
Pentru a demonstra că expresia este divizibilă cu 5, putem folosi inducția matematică.
Pasul inițial: Verificăm dacă expresia este adevărată pentru p=3.
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 2016^3 + 5 - (2017^3 + 2018^3) - 1
Putem observa că fiecare termen din suma 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 2016^3 este divizibil cu 5, deoarece fiecare termen este un cub, iar fiecare cub este divizibil cu 5.
De asemenea, putem observa că 2017^3 + 2018^3 este divizibil cu 5, deoarece suma a două cuburi consecutive este întotdeauna divizibilă cu 5.
Prin urmare, întreaga expresie este divizibilă cu 5 pentru p=3.
Pasul de inducție: Presupunem că expresia este adevărată pentru un anumit p=k, unde k este un număr natural prim impar.
Trebuie să demonstrăm că expresia este adevărată și pentru p=k+2.
Putem folosi ipoteza de inducție și să observăm că fiecare termen din suma 1^k+2 + 2^k+2 + 3^k+2 + ... + 2016^k+2 este divizibil cu 5, deoarece fiecare termen este ridicat la o putere mai mare decât k, iar fiecare termen este divizibil cu 5 în conformitate cu ipoteza de inducție.
De asemenea, putem observa că 2017^k+2 + 2018^k+2 este divizibil cu 5, deoarece suma a două puteri consecutive mai mari decât k este întotdeauna divizibilă cu 5.
Prin urmare, întreaga expresie este divizibilă cu 5 pentru p=k+2.
Astfel, am demonstrat că expresia este divizibilă cu 5 pentru orice
