Răspuns:
[tex]\boldsymbol{a) \ \red{f(\sqrt{2}) > f(\sqrt{3})}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
a) Calculăm valorile:
[tex]f(\sqrt{2}) = -3\sqrt{2} + \sqrt{2} = -2\sqrt{2}[/tex]
[tex]f(\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + \sqrt{2}[/tex]
Comparăm numerele. Deoarece √2 < √3
⇒ - √2 > - √3
⇒ -3√2 > -3√3
⇒ -3√2 + √2 > -3√3 + √2
⇒ f(√2) > f(√3)
Funcția este descrescătoare (coeficientul lui x este -3 < 0), ceea ce înseamnă că pentru orice x₁ < x₂ avem f(x₁) > f(x₂)
b) Valorile obținute la punctul a) sunt iraționale. Vom arăta că funcția poate lua și valori raționale. Astfel:
Pentru f(x) = 0 ∈ Q
[tex]-3x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow 3x = \sqrt{2} \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{2} }{3} \in \Bbb {R}[/tex]
Pentru x = √2/3 funcția f are valoarea 0, adică ia valori raționale.
↓↓↓
Dacă considerăm valorile raționale a ∈ Q, atunci
-3x + √2 = a ⇒ 3x = √2 - a ⇒ x = (√2 - a)/3
Pentru orice x = (√2 - a)/3, unde a ∈ Q, funcția ia valori raționale.
