Pentru a rezolva această problemă, putem folosi câteva proprietăți ale trapezului și a triunghiului dreptunghic.
a) **Lungimea gardului care înconjoară grădina:**
- AD = 12 m și AB = 15 m reprezintă cele două laturi paralele ale trapezului.
- AC este bisectoarea unghiului DCB, deci triunghiul ADC și triunghiul BAC sunt congruente (au aceeași latură AC și unghiul comum).
- Astfel, BC = CD = 12 m (deci BD = 24 m, deoarece trapezul este dreptunghic).
- Perimetrul trapezului este suma lungimilor laturilor: \(P = AD + AB + BC + CD\).
Calculăm lungimea laturii BC folosind teorema lui Pitagora în triunghiul BCD:
\[BC^2 = BD^2 - CD^2\]
\[BC^2 = 24^2 - 12^2\]
\[BC^2 = 576 - 144\]
\[BC^2 = 432\]
\[BC = \sqrt{432} \approx 20.78 m\]
Deci perimetrul \(P = 12 + 15 + 20.78 + 12 = 59.78\) m.
b) **Aria grădinii:**
- Aria unui trapez este dată de formula: \(A = \frac{(b_1 + b_2) \times h}{2}\), unde \(b_1\) și \(b_2\) sunt lungimile bazelor, iar \(h\) este înălțimea.
- În cazul nostru, bazele trapezului sunt \(AB\) și \(AD\), iar înălțimea este \(AC\).
- Aria triunghiului ABC este \(A_{ABC} = \frac{AB \times AC}{2}\).
- Deci, aria totală a grădinii este \(A = A_{ABCD} + 2 \times A_{ABC}\).
Calculăm înălțimea \(AC\) folosind teorema înaltimii din triunghiul BAC:
\[AC^2 = AB \times BC\]
\[AC^2 = 15 \times \sqrt{432}\]
\[AC \approx 72.42 m\]
Aria triunghiului ABC este \(A_{ABC} = \frac{15 \times 72.42}{2} \approx 543.15 mp\).
Aria totală a grădinii este \(A \approx 543.15 + 2 \times 543.15 = 1629.45\) mp.
Deci,
a) Lungimea gardului care înconjoară grădina este aproximativ 59.78 m.
b) Aria grădinii este aproximativ 1629.45 mp.