Răspuns :
Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{f^{-1}(x) = \dfrac{\ln 2x}{2\ln 2}},\ \ \ f^{-1}:(0;+\infty) \to \Bbb{R}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
O funcție f : A → B este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.
Studiem injectivitatea:
[tex]f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2^{2x_1-1} = 2^{2x_2-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2x_1-1 = 2x_2-1 \Rightarrow 2x_1 = 2x_2\\[/tex]
[tex]\Rightarrow x_1 = x_2 \Rightarrow f.injectiv\breve{a} \ \ (1)[/tex]
Orice funcție strict monotonă este injectivă (pe domeniul de definiție).
Studiem surjectivitatea. Stabilim codomeniul
[tex]2^{2x-1} > 0, \ \ \forall x \in \Bbb{R} \Rightarrow f(x) > 0 \Rightarrow f: \Bbb{R} \to (0;+\infty)\\[/tex]
[tex]\forall y \in (0;+\infty), \ \exists x \in \Bbb{R} \ a.i. \ y = f(x)[/tex]
[tex]y = 2^{2x-1} \Rightarrow \ln y = \ln 2^{2x-1} \Rightarrow \ln y = (2x-1)\ln 2 \Rightarrow \ln y + \ln 2 = 2x\ln 2[/tex]
[tex]\Rightarrow x = \dfrac{\ln 2y}{2\ln 2} \Rightarrow f.surjectiv\breve{a} \ \ (2)[/tex]
Funcția f este surjectivă dacă orice paralelă la axa Ox dusă printr-un punct al codomeniului taie graficul în cel puțin un punct.
Din (1) și (2) ⇒ f este bijectivă ⇒ f este inversabilă
O funcție f este bijectivă dacă pentru orice y ∈ B, ecuația f(x)=y are o singură soluție.
[tex]\Rightarrow \boldsymbol{f^{-1}(y) = \dfrac{\ln 2y}{2\ln 2}}, \ \ \ f^{-1}:(0;+\infty) \to \Bbb{R}\\[/tex]
[tex]sau \ \boldsymbol{f^{-1}(x) = \dfrac{\ln 2x}{2\ln 2}} \ \ (se \ schimb\breve{a} \ notatia \ din \ y \ in \ x)[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!