Răspuns :
Răspuns:
a) Verificarea:
\[ x * y = xy - 5(x + y) + 30 \]
\[ = (x - 5)(y - 5) + 5 \]
\[ = xy - 5x - 5y + 25 + 5 \]
\[ = xy - 5x - 5y + 30 \]
b) Calculul:
\[ \frac{1}{2*3} - \frac{(1-2)*(1-3)}{1} \]
\[ = \frac{1}{6} - \frac{(-1)(-2)}{1} \]
\[ = \frac{1}{6} - \frac{2}{1} \]
\[ = \frac{1 - 12}{6} \]
\[ = -\frac{11}{6} \]
c) Rezolvarea ecuației:
\[ x * x = 5x \]
\[ x^2 = 5x \]
\[ x^2 - 5x = 0 \]
\[ x(x - 5) = 0 \]
Deci, soluțiile sunt \(x = 0\) și \(x = 5\).
d) Demonstrarea:
\[ x * (y * z) = x * (y + z + 3) = x + (y + z + 3) + 3 = x + y + z + 6 \]
\[ (x * y) * z = (x + y + 3) * z = (x + y + 3) + z + 3 = x + y + z + 6 \]
Deci, \(x * (y * z) = (x * y) * z\).
e) Demonstrarea:
\[ x * y = x + y + 3 \]
Pentru \(x, y \in M = [5, +)\), se poate observa că rezultatul va fi întotdeauna mai mare sau egal cu 8 (5 + 3). Prin urmare, pentru \(x, y \in M\), \(x * y\) va fi întotdeauna în \(M\).
2. Pe mulțimea numerelor reale se consideră legile de compoziție \(x * y = x + y + 3\) și \(x * y = xy - 3(x + y) + 12\). Să se rezolve sistemul de ecuații:
\[ \begin{cases} x \cdot (y-1) = 0 \\ (x+1) \cdot y = x \cdot (y+1) \end{cases} \]
Soluții:
1. Pentru \(x \cdot (y-1) = 0\), avem \(x = 0\) sau \(y = 1\).
2. Pentru \((x+1) \cdot y = x \cdot (y+1)\), punem valorile \(x = 0\) și \(y = 1\) din prima ecuație:
\[ (0+1) \cdot 1 = 0 \cdot (1+1) \]
\[ 1 = 0 \]
Din această contradicție, sistemul nu are soluții reale.
Explicație pas cu pas:
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!