Răspuns:
x = 2021
Explicație pas cu pas:
[tex]\frac{x}{1*2} + \frac{x}{2*3} + \frac{x}{3*4} + ... + \frac{x}{2019*2020} + \frac{x}{2020*2021} = 2020[/tex]
Utilizăm formula [tex]\frac{x}{n(n+1)} = \frac{x}{n} - \frac{x}{n+1}[/tex]
Pentru demonstrația acestei formule, se prelucrează membrul drept:
[tex]\frac{x}{n} - \frac{x}{n+1} = \frac{x(n+1)}{n(n+1} - \frac{x*n}{n(n+1)} = \frac{x*n+x-x*n}{n(n+1)} = \frac{x}{n(n+1)}[/tex]
Acum exercițiul devine:
[tex]\frac{x}{1} - \frac{x}{2} + \frac{x}{2} - \frac{x}{3} + \frac{x}{3} - \frac{x}{4} + .... + \frac{x}{2019} - \frac{x}{2020} + \frac{x}{2020} - \frac{x}{2021} = 2020[/tex]
Toți termenii din membrul stâng se simplifică, cu excepția primului și ultimului:
[tex]x - \frac{x}{2021} = 2020[/tex]
[tex]\frac{2021*x - x}{2021} = 2020[/tex]
[tex]2020*x = 2020*2021[/tex]
[tex]x = 2021[/tex]
