Explicație pas cu pas:
Considerăm vectorii de poziție \( \overrightarrow{A}, \overrightarrow{B}, \overrightarrow{C}, \overrightarrow{D} \) pentru punctele A, B, C, și D în sistemul de coordonate.
1. **Condiția dată pentru AM:**
\[ \overrightarrow{AM} = 7 \cdot \overrightarrow{MB} \]
2. **Condiția dată pentru CN și BN:**
\[ \overrightarrow{CN} - 2 \cdot \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{0} \]
3. **Relația între vectorii de poziție ai punctelor M, P și vectorii de poziție ai punctelor C, D:**
\[ \overrightarrow{MP} = t \cdot \overrightarrow{CM} + (1-t) \cdot \overrightarrow{DN} \]
pentru un \( t \) real.
4. **Relația între vectorii de poziție ai punctelor A, B, C, D în cazul unui pătrat ABCD:**
\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DA} \]
5. **Deoarece ABCD este un pătrat, avem \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DA} \).**
Acum, îmbinăm aceste relații:
6. **Pentru AM:**
\[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M} = 7 \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}) \]
7. **Pentru CN și BN:**
\[ \overrightarrow{CN} - 2 \cdot \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{N} - 2 \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{N}) = \overrightarrow{0} \]
8. **Scriem relația pentru \( \overrightarrow{MP} \) în funcție de \( \overrightarrow{CM} \) și \( \overrightarrow{DN} \):**
\[ \overrightarrow{MP} = t \cdot \overrightarrow{CM} + (1-t) \cdot \overrightarrow{DN} \]
9. **Relația cerută:**
\[ 13 \cdot \overrightarrow{AP} = 12 \cdot \overrightarrow{AB} + 5 \cdot \overrightarrow{AD} \]
Prin manipularea acestor ecuații, puteți demonstra relația cerută.
